Площадь, ограниченная трактрисой и осью абсцисс
Площадь, ограниченная трактрисой и осью абсцисс, — это число, характеризующее область под трактрисой при 0 < x < ∞ в единицах измерения площади.
Рассмотрим области трактрисы, исходящей из точки (0, R).
Обозначения[править]
Введём обозначения:
x1 — абсцисса (большая) первой точки;
y1 — ордината первой точки;
t1 — параметр (меньший) первой точки;
x2 — абсцисса (меньшая) второй точки;
y2 — ордината второй точки;
t2 — параметр (больший) второй точки;
R — высота трактрисы;
L — точка оси абсцисс, являющейся направляющей;
M = (x, y) — точка трактрисы;
M0 = (0, R) — вершина трактрисы;
t — параметрическая переменная;
x = R[cost + lntg(t/2)] — параметрическое уравнение абсциссы трактрисы;
y = Rsint — параметрическое уравнение ординаты трактрисы;
Sтрак — площадь, ограниченная дугой трактрисы и осью абсцисс при 0 ≤ x2 ≤ x1 < ∞.
Формула[править]
- [math]\displaystyle{ S_\text{трак}=\frac{1}{4}R^2(2t_2+\sin 2t_2-2t_1-\sin 2t_1), \ 0 \lt t_1 \le t_2 \le \frac{\pi}{2} }[/math]
- Площадь, ограниченная дугой трактрисы M0M и осью абсцисс, равна St = R2(π − 2t − sin2t)/4.
- Площадь, ограниченная трактрисой и осью абсцисс, равна половине площади круга радиуса равного высоте, Sтрак = πR2/2.
Вывод формулы[править]
- [math]\displaystyle{ S_\text{трак}=\int\limits_{t_1}^{t_2}R\sin t\left(R\cos t+R\ln tg\frac{t}{2}\right)'_tdt=\int\limits_{t_1}^{t_2}R\sin t\left(-R\sin t+\frac{R}{\sin t}\right)dt= }[/math]
- [math]\displaystyle{ =R^2\int\limits_{t_1}^{t_2}(-sin^2t+1)dt=R^2\int\limits_{t_1}^{t_2}\cos^2tdt=R^2\int\limits_{t_1}^{t_2}\frac{1+\cos 2t}{2}dt=\left.\frac{1}{4}R^2(2t+\sin 2t)\right|_{t_1}^{t_2}= }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{1}{4}R^2(2t_2+\sin 2t_2-2t_1-\sin 2t_1) \Rightarrow S_\text{трак}=\frac{1}{4}R^2(2t_2+\sin 2t_2-2t_1-\sin 2t_1) }[/math]
- Для вывода используется формула «площадь плоской фигуры» в параметрической форме.
См. также[править]
Другие формулы[править]
- площадь плоской фигуры;
- площадь круга;
- площадь сегмента круга;
- площадь сектора круга;
- площадь серпа;
- площадь эллипса;
- площадь сегмента эллипса;
- площадь сектора эллипса;
- площадь серпа эллипса;
- площадь сегмента параболы;
- площадь сегмента гиперболы;
- площадь сектора кардиоиды;
- площадь сектора лемнискаты Бернулли;
- площадь сегмента правильного многоугольника;
- площадь сектора правильного многоугольника;
- площадь арки синусоиды;
- площадь арки косинусоиды;
- площадь, ограниченная тангенсоидой и осью абсцисс;
- площадь, ограниченная котангенсоидой и осью абсцисс;
- площадь арки циклоиды;
- площадь, ограниченная цепной линией и осью абсцисс;
- площадь, ограниченная трактрисой и осью абсцисс.