Площадь, ограниченная трактрисой и осью абсцисс

Трактриса

Формула

Площадь, ограниченная трактрисой и осью абсцисс, — это число, характеризующее область под трактрисой при 0 < x < ∞ в единицах измерения площади.

Рассмотрим области трактрисы, исходящей из точки (0, R).

Обозначения

Введём обозначения:

x₁ — абсцисса (большая) первой точки;

y₁ — ордината первой точки;

t₁ — параметр (меньший) первой точки;

x₂ — абсцисса (меньшая) второй точки;

y₂ — ордината второй точки;

t₂ — параметр (больший) второй точки;

R — высота трактрисы;

L — точка оси абсцисс, являющейся направляющей;

M = (x, y) — точка трактрисы;

M₀ = (0, R) — вершина трактрисы;

t — параметрическая переменная;

x = R[cost + lntg(t/2)] — параметрическое уравнение абсциссы трактрисы;

y = Rsint — параметрическое уравнение ординаты трактрисы;

S_трак — площадь, ограниченная дугой трактрисы и осью абсцисс при 0 ≤ x₂ ≤ x₁ < ∞.

Формула

[math]\displaystyle{ S_\text{трак}=\frac{1}{4}R^2(2t_2+\sin 2t_2-2t_1-\sin 2t_1), \ 0 \lt t_1 \le t_2 \le \frac{\pi}{2} }[/math]

• Площадь, ограниченная дугой трактрисы M₀M и осью абсцисс, равна S_t = R²(π − 2t − sin2t)/4.
• Площадь, ограниченная трактрисой и осью абсцисс, равна половине площади круга радиуса равного высоте, S_трак = πR²/2.

Вывод формулы

[math]\displaystyle{ S_\text{трак}=\int\limits_{t_1}^{t_2}R\sin t\left(R\cos t+R\ln tg\frac{t}{2}\right)'_tdt=\int\limits_{t_1}^{t_2}R\sin t\left(-R\sin t+\frac{R}{\sin t}\right)dt= }[/math]

[math]\displaystyle{ =R^2\int\limits_{t_1}^{t_2}(-sin^2t+1)dt=R^2\int\limits_{t_1}^{t_2}\cos^2tdt=R^2\int\limits_{t_1}^{t_2}\frac{1+\cos 2t}{2}dt=\left.\frac{1}{4}R^2(2t+\sin 2t)\right|_{t_1}^{t_2}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac{1}{4}R^2(2t_2+\sin 2t_2-2t_1-\sin 2t_1) \Rightarrow S_\text{трак}=\frac{1}{4}R^2(2t_2+\sin 2t_2-2t_1-\sin 2t_1) }[/math]

• Для вывода используется формула «площадь плоской фигуры» в параметрической форме.

См. также

• Длина дуги трактрисы

Другие формулы

• площадь плоской фигуры;
• площадь круга;
• площадь сегмента круга;
• площадь сектора круга;
• площадь серпа;
• площадь эллипса;
• площадь сегмента эллипса;
• площадь сектора эллипса;
• площадь серпа эллипса;
• площадь сегмента параболы;
• площадь сегмента гиперболы;
• площадь сектора кардиоиды;
• площадь сектора лемнискаты Бернулли;
• площадь сегмента правильного многоугольника;
• площадь сектора правильного многоугольника;
• площадь арки синусоиды;
• площадь арки косинусоиды;
• площадь, ограниченная тангенсоидой и осью абсцисс;
• площадь, ограниченная котангенсоидой и осью абсцисс;
• площадь арки циклоиды;
• площадь, ограниченная цепной линией и осью абсцисс;
• площадь, ограниченная трактрисой и осью абсцисс.