Площадь, ограниченная трактрисой и осью абсцисс

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Трактриса
Формула

Площадь, ограниченная трактрисой и осью абсцисс, — это число, характеризующее область под трактрисой при 0 < x < ∞ в единицах измерения площади.

Рассмотрим области трактрисы, исходящей из точки (0, R).

Обозначения[править]

Введём обозначения:

x1 — абсцисса (большая) первой точки;

y1 — ордината первой точки;

t1 — параметр (меньший) первой точки;

x2 — абсцисса (меньшая) второй точки;

y2 — ордината второй точки;

t2 — параметр (больший) второй точки;

R — высота трактрисы;

L — точка оси абсцисс, являющейся направляющей;

M = (x, y) — точка трактрисы;

M0 = (0, R) — вершина трактрисы;

t — параметрическая переменная;

x = R[cost + lntg(t/2)] — параметрическое уравнение абсциссы трактрисы;

y = Rsint — параметрическое уравнение ординаты трактрисы;

Sтрак — площадь, ограниченная дугой трактрисы и осью абсцисс при 0 ≤ x2 ≤ x1 < ∞.

Формула[править]

[math]\displaystyle{ S_\text{трак}=\frac{1}{4}R^2(2t_2+\sin 2t_2-2t_1-\sin 2t_1), \ 0 \lt t_1 \le t_2 \le \frac{\pi}{2} }[/math]
  • Площадь, ограниченная дугой трактрисы M0M и осью абсцисс, равна St = R2(π − 2t − sin2t)/4.
  • Площадь, ограниченная трактрисой и осью абсцисс, равна половине площади круга радиуса равного высоте, Sтрак = πR2/2.

Вывод формулы[править]

[math]\displaystyle{ S_\text{трак}=\int\limits_{t_1}^{t_2}R\sin t\left(R\cos t+R\ln tg\frac{t}{2}\right)'_tdt=\int\limits_{t_1}^{t_2}R\sin t\left(-R\sin t+\frac{R}{\sin t}\right)dt= }[/math]
[math]\displaystyle{ =R^2\int\limits_{t_1}^{t_2}(-sin^2t+1)dt=R^2\int\limits_{t_1}^{t_2}\cos^2tdt=R^2\int\limits_{t_1}^{t_2}\frac{1+\cos 2t}{2}dt=\left.\frac{1}{4}R^2(2t+\sin 2t)\right|_{t_1}^{t_2}= }[/math]
[math]\displaystyle{ =\frac{1}{4}R^2(2t_2+\sin 2t_2-2t_1-\sin 2t_1) \Rightarrow S_\text{трак}=\frac{1}{4}R^2(2t_2+\sin 2t_2-2t_1-\sin 2t_1) }[/math]

См. также[править]

Другие формулы[править]