Длина дуги параболы

Парабола

Длина дуги параболы — это число, характеризующее протяжённость дуги параболы в единицах измерения длины.

Обозначения

Введём обозначения:

x₁ — абсцисса первой точки дуги;

y₁ — ордината (меньшая) первой точки дуги;

x₂ — абсцисса второй точки дуги;

y₂ — ордината (большая) второй точки дуги;

y² = 2px — каноническое уравнение параболы;

L_{дуг.пар} — длина дуги параболы.

Формула

$L_{\text{дуг.пар}}={\frac {y_{2}{\sqrt {y_{2}^{2}+p^{2}}}-y_{1}{\sqrt {y_{1}^{2}+p^{2}}}}{2p}}+{\frac {p}{2}}\ln \left|{\frac {y_{2}+{\sqrt {y_{2}^{2}+p^{2}}}}{y_{1}+{\sqrt {y_{1}^{2}+p^{2}}}}}\right|\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow L_{\text{дуг.пар}}={\frac {y_{2}{\sqrt {2px_{2}+p^{2}}}-y_{1}{\sqrt {2px_{1}+p^{2}}}}{2p}}+{\frac {p}{2}}\ln \left|{\frac {y_{2}+{\sqrt {2px_{2}+p^{2}}}}{y_{1}+{\sqrt {2px_{1}+p^{2}}}}}\right|\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow L_{\text{дуг.пар}}=signy_{2}{\sqrt {x_{2}}}{\sqrt {x_{2}+{\frac {p}{2}}}}-signy_{1}{\sqrt {x_{1}}}{\sqrt {x_{1}+{\frac {p}{2}}}}+{\frac {p}{2}}\ln \left|{\frac {signy_{2}{\sqrt {x_{2}}}+{\sqrt {x_{2}+{\frac {p}{2}}}}}{signy_{1}{\sqrt {x_{1}}}+{\sqrt {x_{1}+{\frac {p}{2}}}}}}\right|$

• Заметим, что формула верна для точек с положительными и отрицательными ординатами, причём y₂ > y₁.

Вывод формулы

$L_{\text{дуг.пар}}=\int \limits _{y_{1}}^{y_{2}}{\sqrt {1+\left[\left({\frac {y^{2}}{2p}}\right)'\right]^{2}}}dy=\int \limits _{y_{1}}^{y_{2}}{\sqrt {1+\left({\frac {y}{p}}\right)^{2}}}dy=\int \limits _{y_{1}}^{y_{2}}{\sqrt {1+{\frac {y^{2}}{p^{2}}}}}dy=$

$={\frac {1}{p}}\int \limits _{y_{1}}^{y_{2}}{\sqrt {y^{2}+p^{2}}}dy=\left.{\frac {1}{2p}}\left(y{\sqrt {y^{2}+p^{2}}}+p^{2}\ln \left|y+{\sqrt {y^{2}+p^{2}}}\right|\right)\right|_{y_{1}}^{y_{2}}=$

$={\frac {1}{2p}}\left(y_{2}{\sqrt {y_{2}^{2}+p^{2}}}+p^{2}\ln \left|y_{2}+{\sqrt {y_{2}^{2}+p^{2}}}\right|-y_{1}{\sqrt {y_{1}^{2}+p^{2}}}-p^{2}\ln \left|y_{1}+{\sqrt {y_{1}^{2}+p^{2}}}\right|\right)$

$={\frac {y_{2}{\sqrt {y_{2}^{2}+p^{2}}}-y_{1}{\sqrt {y_{1}^{2}+p^{2}}}}{2p}}+{\frac {p}{2}}\ln \left|{\frac {y_{2}+{\sqrt {y_{2}^{2}+p^{2}}}}{y_{1}+{\sqrt {y_{1}^{2}+p^{2}}}}}\right|\Rightarrow$

$\Rightarrow L_{\text{дуг.пар}}={\frac {y_{2}{\sqrt {y_{2}^{2}+p^{2}}}-y_{1}{\sqrt {y_{1}^{2}+p^{2}}}}{2p}}+{\frac {p}{2}}\ln \left|{\frac {y_{2}+{\sqrt {y_{2}^{2}+p^{2}}}}{y_{1}+{\sqrt {y_{1}^{2}+p^{2}}}}}\right|$

• Для вывода используется формула длина дуги плоской кривой в прямоугольных координатах.
• Для нахождения интеграла используется формула 1 интегралы функций с корнями.

Другие формулы

• плоская кривая;
• окружность;
• парабола;
• эллипс;
• гипербола;
• синусоида;
• косинусоида;
• циклоида;
• кардиоида;
• астроида;
• эпициклоида;
• гипоциклоида;
• эвольвента;
• цепная линия;
• трактриса;
• лемниската Бернулли.