Длина дуги параболы
Длина дуги параболы — это число, характеризующее протяжённость дуги параболы в единицах измерения длины.
Содержание
Обозначения[править]
Введём обозначения:
x1 — абсцисса первой точки дуги;
y1 — ордината (меньшая) первой точки дуги;
x2 — абсцисса второй точки дуги;
y2 — ордината (большая) второй точки дуги;
y2 = 2px — каноническое уравнение параболы;
Lдуг.пар — длина дуги параболы.
Формула[править]
- [math]\displaystyle{ L_\text{дуг.пар}=\frac{y_2\sqrt{y_2^2+p^2}-y_1\sqrt{y_1^2+p^2}}{2p}+\frac{p}{2}\ln\left|\frac{y_2+\sqrt{y_2^2+p^2}}{y_1+\sqrt{y_1^2+p^2}}\right| \Leftrightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow L_\text{дуг.пар}=\frac{y_2\sqrt{2px_2+p^2}-y_1\sqrt{2px_1+p^2}}{2p}+\frac{p}{2}\ln\left|\frac{y_2+\sqrt{2px_2+p^2}}{y_1+\sqrt{2px_1+p^2}}\right| \Leftrightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow L_\text{дуг.пар}= sign y_2\sqrt{x_2}\sqrt{x_2+\frac{p}{2}}-sign y_1\sqrt{x_1}\sqrt{x_1+\frac{p}{2}}+\frac{p}{2}\ln\left|\frac{sign y_2\sqrt{x_2}+\sqrt{x_2+\frac{p}{2}}}{sign y_1\sqrt{x_1}+\sqrt{x_1+\frac{p}{2}}}\right| }[/math]
- Заметим, что формула верна для точек с положительными и отрицательными ординатами, причём y2 > y1.
Вывод формулы[править]
- [math]\displaystyle{ L_\text{дуг.пар}=\int\limits_{y_1}^{y_2}\sqrt{1+\left[\left(\frac{y^2}{2p}\right)'\right]^2}dy=\int\limits_{y_1}^{y_2}\sqrt{1+\left(\frac{y}{p}\right)^2}dy=\int\limits_{y_1}^{y_2}\sqrt{1+\frac{y^2}{p^2}}dy= }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{1}{p}\int\limits_{y_1}^{y_2}\sqrt{y^2+p^2}dy=\left.\frac{1}{2p}\left(y\sqrt{y^2+p^2} +p^2\ln\left|y+\sqrt{y^2+p^2}\right|\right)\right|_{y_1}^{y_2}= }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{1}{2p}\left(y_2\sqrt{y_2^2+p^2} +p^2\ln\left|y_2+\sqrt{y_2^2+p^2}\right|-y_1\sqrt{y_1^2+p^2}-p^2\ln\left|y_1+\sqrt{y_1^2+p^2}\right|\right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{y_2\sqrt{y_2^2+p^2}-y_1\sqrt{y_1^2+p^2}}{2p}+\frac{p}{2}\ln\left|\frac{y_2+\sqrt{y_2^2+p^2}}{y_1+\sqrt{y_1^2+p^2}}\right| \Rightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Rightarrow L_\text{дуг.пар}=\frac{y_2\sqrt{y_2^2+p^2}-y_1\sqrt{y_1^2+p^2}}{2p}+\frac{p}{2}\ln\left|\frac{y_2+\sqrt{y_2^2+p^2}}{y_1+\sqrt{y_1^2+p^2}}\right| }[/math]
- Для вывода используется формула длина дуги плоской кривой в прямоугольных координатах.
- Для нахождения интеграла используется формула 1 интегралы функций с корнями.
Другие формулы[править]
- длина дуги плоской кривой;
- длина дуги окружности;
- длина дуги параболы;
- длина дуги эллипса;
- длина дуги гиперболы;
- длина дуги синусоиды;
- длина дуги косинусоиды;
- длина дуги циклоиды;
- длина дуги кардиоиды;
- длина дуги астроиды;
- длина дуги эпициклоиды;
- длина дуги гипоциклоиды;
- длина дуги эвольвенты окружности;
- длина дуги цепной линии;
- длина дуги трактрисы;
- длина дуги лемнискаты Бернулли.