Длина дуги кардиоиды
Длина дуги кардиоиды — это число, характеризующее протяжённость дуги кардиоиды в единицах измерения длины.
Кардиоида — это линия, описываемая точкой окружности, когда последняя катится без скольжения по окружности того же радиуса.
Катящаяся окружность называется производящей.
Рассмотрим дуги кардиоиды при -π ≤ φ ≤ π.
Обозначения[править]
Введём обозначения:
x1 — абсцисса первой точки дуги;
y1 — ордината первой точки дуги;
φ1 — угол (меньший) первой точки дуги;
x2 — абсцисса второй точки дуги;
y2 — ордината второй точки дуги;
φ2 — угол (больший) второй точки дуги;
R — радиус производящей окружности;
φ — независимая переменная;
r = 2R(1 + cosφ) — уравнение кардиоиды в полярных координатах;
t — параметрическая переменная;
x = 2Rcost(1 + cost) — параметрическое уравнение абсциссы кардиоиды;
y = 2Rsint(1 + cost) — параметрическое уравнение ординаты кардиоиды;
Lдуг.кард — длина дуги кардиоиды.
Формула[править]
- [math]\displaystyle{ L_\text{дуг.кард}=8R\left(\sin\frac{\varphi_2}{2}-\sin\frac{\varphi_1}{2}\right), \ -\pi \le \varphi_1 \le \varphi_2 \le \pi }[/math]
- Длина полной (от -π до π) кардиоиды равна шестнадцати радиусам производящей окружности, Lкард = 16R.
Вывод формулы[править]
- [math]\displaystyle{ L_\text{дуг.кард}=\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\sqrt{r^2+\left(r'_\varphi\right)^2}d\varphi=\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\sqrt{\left(2R\cos\varphi+2R\right)^2+\left[\left(2R\cos\varphi+2R\right)'_\varphi\right]^2}d\varphi= }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\sqrt{4R^2(\cos\varphi+1)^2+(-2R\sin\varphi)^2}d\varphi=2R\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\sqrt{2+2\cos\varphi}d\varphi= }[/math]
- [math]\displaystyle{ =2\sqrt{2}R\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\sqrt{1+\cos\varphi}d\varphi=2\sqrt{2}R\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\sqrt{2\cos^2\frac{\varphi}{2}}d\varphi=4R\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\cos\frac{\varphi}{2}d\varphi= }[/math]
- [math]\displaystyle{ =8R\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\cos\frac{\varphi}{2}d\frac{\varphi}{2}=\left.8R\sin\frac{\varphi}{2}\right|_{\varphi_1}^{\varphi_2}=8R\left(\sin\frac{\varphi_2}{2}-\sin\frac{\varphi_1}{2}\right) \Rightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Rightarrow L_\text{дуг.кард}=8R\left(\sin\frac{\varphi_2}{2}-\sin\frac{\varphi_1}{2}\right) }[/math]
- Для вывода используется формула «длина дуги плоской кривой» в полярных координатах.
См. также[править]
Другие формулы[править]
- длина дуги плоской кривой;
- длина дуги окружности;
- длина дуги параболы;
- длина дуги эллипса;
- длина дуги гиперболы;
- длина дуги синусоиды;
- длина дуги косинусоиды;
- длина дуги циклоиды;
- длина дуги кардиоиды;
- длина дуги астроиды;
- длина дуги эпициклоиды;
- длина дуги гипоциклоиды;
- длина дуги эвольвенты окружности;
- длина дуги цепной линии;
- длина дуги трактрисы;
- длина дуги лемнискаты Бернулли.
Литература[править]
- Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике — М.: Наука, 1964, стр.495.