Длина дуги кардиоиды

Кардиоида

Формула

Длина дуги кардиоиды — это число, характеризующее протяжённость дуги кардиоиды в единицах измерения длины.

Кардиоида — это линия, описываемая точкой окружности, когда последняя катится без скольжения по окружности того же радиуса.

Катящаяся окружность называется производящей.

Рассмотрим дуги кардиоиды при −π ≤ φ ≤ π.

Обозначения[править]

Введём обозначения:

x₁ — абсцисса первой точки дуги;

y₁ — ордината первой точки дуги;

φ₁ — угол (меньший) первой точки дуги;

x₂ — абсцисса второй точки дуги;

y₂ — ордината второй точки дуги;

φ₂ — угол (больший) второй точки дуги;

R — радиус производящей окружности;

φ — независимая переменная;

r = 2R(1 + cosφ) — уравнение кардиоиды в полярных координатах;

t — параметрическая переменная;

x = 2Rcost(1 + cost) — параметрическое уравнение абсциссы кардиоиды;

y = 2Rsint(1 + cost) — параметрическое уравнение ординаты кардиоиды;

L_{дуг.кард} — длина дуги кардиоиды.

L_{\text{дуг.кард}}=8R\left(\sin {\frac {\varphi _{2}}{2}}-\sin {\frac {\varphi _{1}}{2}}\right),\ -\pi \leq \varphi _{1}\leq \varphi _{2}\leq \pi

Длина полной (от -π до π) кардиоиды равна шестнадцати радиусам производящей окружности, L_кард = 16R.

L_{\text{дуг.кард}}=\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {r^{2}+\left(r'_{\varphi }\right)^{2}}}d\varphi =\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {\left(2R\cos \varphi +2R\right)^{2}+\left[\left(2R\cos \varphi +2R\right)'_{\varphi }\right]^{2}}}d\varphi =

=\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {4R^{2}(\cos \varphi +1)^{2}+(-2R\sin \varphi )^{2}}}d\varphi =2R\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {2+2\cos \varphi }}d\varphi =

=2{\sqrt {2}}R\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {1+\cos \varphi }}d\varphi =2{\sqrt {2}}R\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {2\cos ^{2}{\frac {\varphi }{2}}}}d\varphi =4R\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\cos {\frac {\varphi }{2}}d\varphi =

=8R\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\cos {\frac {\varphi }{2}}d{\frac {\varphi }{2}}=\left.8R\sin {\frac {\varphi }{2}}\right|_{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}=8R\left(\sin {\frac {\varphi _{2}}{2}}-\sin {\frac {\varphi _{1}}{2}}\right)\Rightarrow

\Rightarrow L_{\text{дуг.кард}}=8R\left(\sin {\frac {\varphi _{2}}{2}}-\sin {\frac {\varphi _{1}}{2}}\right)

Для вывода используется формула «длина дуги плоской кривой» в полярных координатах.