Длина дуги циклоиды

Циклоида

Формула

Длина дуги циклоиды — это число, характеризующее протяжённость дуги циклоиды в единицах измерения длины.

Циклоида — это линия, описываемая точкой окружности, когда последняя катится без скольжения по прямой линии (направляющей) (например, по оси абсцисс).

Катящаяся окружность называется производящей.

Рассмотрим дуги циклоиды при 0 ≤ t ≤ 2π.

Обозначения

Введём обозначения:

x₁ — абсцисса первой точки дуги;

y₁ — ордината первой точки дуги;

t₁ — параметр (меньший) первой точки дуги;

x₂ — абсцисса второй точки дуги;

y₂ — ордината второй точки дуги;

t₂ — параметр (больший) второй точки дуги;

R — радиус производящей окружности;

t — параметрическая переменная;

x = R(t − sint) — параметрическое уравнение абсциссы циклоиды;

y = R(1 − cost) — параметрическое уравнение ординаты циклоиды;

L_{дуг.цикл} — длина дуги циклоиды.

Формула

$L_{\text{дуг.цикл}}=4R\left(\cos {\frac {t_{1}}{2}}-\cos {\frac {t_{2}}{2}}\right),\ 0\leq t_{1}\leq t_{2}\leq 2\pi$

• Длина полной (от 0 до 2π) арки циклоиды равна восьми радиусам производящей окружности, L_{арк.цикл} = 8R.

Вывод формулы

• Для вывода используется формула «длина дуги плоской кривой» в параметрической форме.

См. также

• Площадь арки циклоиды

Другие формулы

• плоская кривая;
• окружность;
• парабола;
• эллипс;
• гипербола;
• синусоида;
• косинусоида;
• циклоида;
• кардиоида;
• астроида;
• эпициклоида;
• гипоциклоида;
• эвольвента;
• цепная линия;
• трактриса;
• лемниската Бернулли.

Литература

• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1964, стр. 492.