Длина дуги циклоиды

Циклоида

Формула

Длина дуги циклоиды — это число, характеризующее протяжённость дуги циклоиды в единицах измерения длины.

Циклоида — это линия, описываемая точкой окружности, когда последняя катится без скольжения по прямой линии (направляющей) (например, по оси абсцисс).

Катящаяся окружность называется производящей.

Рассмотрим дуги циклоиды при 0 ≤ t ≤ 2π.

Обозначения

Введём обозначения:

x₁ — абсцисса первой точки дуги;

y₁ — ордината первой точки дуги;

t₁ — параметр (меньший) первой точки дуги;

x₂ — абсцисса второй точки дуги;

y₂ — ордината второй точки дуги;

t₂ — параметр (больший) второй точки дуги;

R — радиус производящей окружности;

t — параметрическая переменная;

x = R(t − sint) — параметрическое уравнение абсциссы циклоиды;

y = R(1 − cost) — параметрическое уравнение ординаты циклоиды;

L_{дуг.цикл} — длина дуги циклоиды.

Формула

[math]\displaystyle{ L_\text{дуг.цикл}=4R\left(\cos\frac{t_1}{2}-\cos\frac{t_2}{2}\right), \ 0 \le t_1 \le t_2 \le 2\pi }[/math]

• Длина полной (от 0 до 2π) арки циклоиды равна восьми радиусам производящей окружности, L_{арк.цикл} = 8R.

Вывод формулы

[math]\displaystyle{ L_\text{дуг.цикл}= \int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt = }[/math]

[math]\displaystyle{ =\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{\left[\frac{d}{dt}\left(Rt-R\sin t\right)\right]^2 + \left[\frac{d}{dt}\left(R-R\cos t\right)\right]^2} dt= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{(R-R\cos t)^2+(R\sin t)^2}dt = R\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{(1-\cos t)^2+\sin^2 t}dt = }[/math]

[math]\displaystyle{ =R\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{2-2\cos t}dt = \sqrt{2}R \int\limits_{t_1}^{t_2} \sqrt{2 \sin^2 \frac{t}{2}} dt = 2R \int\limits_{t_1}^{t_2} \sin \frac{t}{2} dt = }[/math]

[math]\displaystyle{ =-4R\cos\frac{t}{2}\biggr\rvert^{t_2}_{t_1} = 4R\left(\cos\frac{t_2}{2} - \cos\frac{t_1}{2}\right) \Rightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Rightarrow L_\text{дуг.цикл}=4R\left(\cos\frac{t_2}{2} - \cos\frac{t_1}{2}\right) }[/math]

• Для вывода используется формула «длина дуги плоской кривой» в параметрической форме.

См. также

• Площадь арки циклоиды

Другие формулы

• длина дуги плоской кривой;
• длина дуги окружности;
• длина дуги параболы;
• длина дуги эллипса;
• длина дуги гиперболы;
• длина дуги синусоиды;
• длина дуги косинусоиды;
• длина дуги циклоиды;
• длина дуги кардиоиды;
• длина дуги астроиды;
• длина дуги эпициклоиды;
• длина дуги гипоциклоиды;
• длина дуги эвольвенты окружности;
• длина дуги цепной линии;
• длина дуги трактрисы;
• длина дуги лемнискаты Бернулли.

Литература

• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1964, стр. 492.