Длина дуги циклоиды
Длина дуги циклоиды — это число, характеризующее протяжённость дуги циклоиды в единицах измерения длины.
Циклоида — это линия, описываемая точкой окружности, когда последняя катится без скольжения по прямой линии (направляющей) (например, по оси абсцисс).
Катящаяся окружность называется производящей.
Рассмотрим дуги циклоиды при 0 ≤ t ≤ 2π.
Обозначения[править]
Введём обозначения:
x1 — абсцисса первой точки дуги;
y1 — ордината первой точки дуги;
t1 — параметр (меньший) первой точки дуги;
x2 — абсцисса второй точки дуги;
y2 — ордината второй точки дуги;
t2 — параметр (больший) второй точки дуги;
R — радиус производящей окружности;
t — параметрическая переменная;
x = R(t − sint) — параметрическое уравнение абсциссы циклоиды;
y = R(1 − cost) — параметрическое уравнение ординаты циклоиды;
Lдуг.цикл — длина дуги циклоиды.
Формула[править]
- [math]\displaystyle{ L_\text{дуг.цикл}=4R\left(\cos\frac{t_1}{2}-\cos\frac{t_2}{2}\right), \ 0 \le t_1 \le t_2 \le 2\pi }[/math]
- Длина полной (от 0 до 2π) арки циклоиды равна восьми радиусам производящей окружности, Lарк.цикл = 8R.
Вывод формулы[править]
- [math]\displaystyle{ L_\text{дуг.цикл}= \int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt = }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{\left[\frac{d}{dt}\left(Rt-R\sin t\right)\right]^2 + \left[\frac{d}{dt}\left(R-R\cos t\right)\right]^2} dt= }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{(R-R\cos t)^2+(R\sin t)^2}dt = R\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{(1-\cos t)^2+\sin^2 t}dt = }[/math]
- [math]\displaystyle{ =R\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{2-2\cos t}dt = \sqrt{2}R \int\limits_{t_1}^{t_2} \sqrt{2 \sin^2 \frac{t}{2}} dt = 2R \int\limits_{t_1}^{t_2} \sin \frac{t}{2} dt = }[/math]
- [math]\displaystyle{ =-4R\cos\frac{t}{2}\biggr\rvert^{t_2}_{t_1} = 4R\left(\cos\frac{t_2}{2} - \cos\frac{t_1}{2}\right) \Rightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Rightarrow L_\text{дуг.цикл}=4R\left(\cos\frac{t_2}{2} - \cos\frac{t_1}{2}\right) }[/math]
- Для вывода используется формула «длина дуги плоской кривой» в параметрической форме.
См. также[править]
Другие формулы[править]
- длина дуги плоской кривой;
- длина дуги окружности;
- длина дуги параболы;
- длина дуги эллипса;
- длина дуги гиперболы;
- длина дуги синусоиды;
- длина дуги косинусоиды;
- длина дуги циклоиды;
- длина дуги кардиоиды;
- длина дуги астроиды;
- длина дуги эпициклоиды;
- длина дуги гипоциклоиды;
- длина дуги эвольвенты окружности;
- длина дуги цепной линии;
- длина дуги трактрисы;
- длина дуги лемнискаты Бернулли.
Литература[править]
- Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1964, стр. 492.