Циклоида

§4 Циклоида // Мемория Высшая Математика [4:32]

Циклоида (от греч. κυκλοειδής — круглый) — это линия, описываемая точкой окружности, когда последняя катится без скольжения по прямой линии (направляющей) (например, по оси абсцисс).

Используемые термины

Окружность катится по направляющей без скольжения (верхний рисунок) и со скольжением.

Катящаяся окружность называется производящей.

Прямая, по которой катится окружность, — направляющая.

Точки пересечения циклоиды с прямой, по которой катится окружность называются точками возврата.

Вершины циклоиды — наивысшие точки циклоиды, находящиеся посередине между точками возврата.

Отрезок прямой линии между двумя соседними точками возврата называется основанием циклоиды (основанием одной арки циклоиды).

Описание

Параметрическое уравнение циклоиды:

$x=rt-r\sin t$

$y=r-r\cos t$

Длина циклоиды равна 8-ми радиусам производящей окружности.

Свойства циклоиды

• Угол между касательной к циклоиде (в произвольной точке) и направляющей прямой равен дополнению до 90° половины угла поворота радиуса производящего круга.
• Угол между нормалью к циклоиде (в любой её точке) и направляющей прямой равен половине основного угла. Основной угол — угол поворота радиуса катящегося круга.
• Нормаль к циклоиде проходит через «нижнюю» точку производящего круга (первое основное свойство циклоиды).
• Касательная к циклоиде проходит через «верхнюю» точку производящего круга (второе основное свойство циклоиды).

История

Первым изучать циклоиду начал Галилео Галилей, который дал ей название. Французские математики называли циклоиду «рулеттой» и «трохоидой». В 1634 году Роберваль (изобретатель известной системы весов) вычислил площадь, ограниченную аркой циклоиды и её основанием. Длина одной арки циклоиды была определена в 1658 английским архитектором и математиком Кристофером Реном, автором проекта и строителем купола собора Святого Павла в Лондоне.

См. также

• Длина дуги циклоиды
• Площадь арки циклоиды