Площадь поверхности
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Площадь поверхности [9:45]
Площадь поверхности — это число, характеризующее поверхность в единицах измерения площади.
Формулы[править]
Площадь поверхности, заданной уравнением z = f(x, y) над областью, заданной неравенством g(x, y) ≤ 0, считается по следующим формулам.
Прямоугольная система координат[править]
![{\displaystyle S_{\text{поверхн}}=\iint \limits _{g(x,y)\leq 0}{\sqrt {1+\left[f'_{x}(x,y)\right]^{2}+\left[f'_{y}(x,y)\right]^{2}}}dxdy\Leftrightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a07769db5278243ff35892f820643a13e24f8e32)
![{\displaystyle \Leftrightarrow S_{\text{поверхн}}=\iint \limits _{g(x,y)\leq 0}{\sqrt {1+\left[z'_{x}(x,y)\right]^{2}+\left[z'_{y}(x,y)\right]^{2}}}dxdy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf6b89e4e0971221b8770218f37eb45eb4402b2e)
- Формула площади поверхности в прямоугольных координатах легко модифицируется в формулы для поверхности, заданной уравнением x = f(y, z) над областью, заданной неравенством g(y, z) ≤ 0, и для поверхности, заданной уравнением y = f(x, z) над областью, заданной неравенством gg(x, z) ≤ 0.
Цилиндрическая система координат[править]
![{\displaystyle S_{\text{поверхн}}=\iint \limits _{g(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )\leq 0}{\sqrt {r^{2}+r^{2}\left[f'_{r}(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )\right]^{2}+\left[f'_{\varphi }(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )\right]^{2}}}drd\varphi \Leftrightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e5cdd9581f033b0c1354b9c6230df85abbf8af4)
![{\displaystyle S_{\text{поверхн}}=\iint \limits _{g(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )\leq 0}{\sqrt {r^{2}+r^{2}\left[z'_{r}(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )\right]^{2}+\left[z'_{\varphi }(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )\right]^{2}}}drd\varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b38762a43036cbe6d1b87d9b958f48683e0b3770)
Примеры фигур[править]
Другие формулы[править]
- площадь многоугольника;
- площадь правильного многоугольника;
- площадь n-угольника Рёло;
- площадь плоской фигуры;
- площадь многогранника;
- площадь правильного многогранника;
- площадь поверхности;
- площадь поверхности фигуры вращения.
Виды формул[править]
- неравенства;
- операции;
- расстояния;
- длины;
- площади;
- объёмы;
- проекции;
- точки;
- уравнения;
- системы уравнений;
- углы;
- дифференциальные уравнения;
- системы дифференциальных уравнений.
Литература[править]
- Бронштейн М. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике — М., 1956, стр.428.