Площадь правильного десятиугольника

Материал из Циклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Площадь правильного десятиугольника — это число, характеризующее правильный десятиугольник в единицах измерения площади.

Правильный десятиугольник (декагон) — это десятиугольник, у которого все стороны и углы равны.

Обозначения[править]

Введём обозначения:

a — длина стороны;

n — число сторон, n=10;

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

α — половинный центральный угол, α=π/10;

P10 — периметр правильного десятиугольника;

SΔ — площадь равнобедренного треугольника с основанием, равным стороне, и боковыми сторонами, равными радиусу описанной окружности;

S10 — площадь правильного десятиугольника.

Формулы[править]

Применима формула для площади правильного n-угольника при n=10:

[math]\displaystyle{ S_{10}=5a^2ctg\frac{\pi}{10} \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_{10}=10S_{\triangle}, \ S_{\triangle}=\frac{a^2}{4}ctg\frac{\pi}{10} \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_{10}=\frac{1}{2}P_{10}r, \ P_{10}=10a, \ r=\frac{a}{2}ctg\frac{\pi}{10} \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_{10}=10R^2\sin\frac{\pi}{10}\cos\frac{\pi}{10}, \ R=\frac{a}{2\sin\frac{\pi}{10}} \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_{10}=10r^2tg\frac{\pi}{10}, \ r=R\cos\frac{\pi}{10} }[/math]

Используя значения тригонометрических функций углов для угла α=π/10:

[math]\displaystyle{ S_{10}=\frac{5\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{2}a^2 \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_{10}=10S_{\triangle}, \ S_{\triangle}=\frac{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{4}a^2 \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_{10}=\frac{1}{2}P_{10}r, \ P_{10}=10a, \ r=\frac{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{2}a \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_{10}=\frac{5\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}R^2, \ R=\frac{\sqrt{\sqrt{5}+1}}{2}a \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_{10}=2\sqrt{25-10\sqrt{5}}r^2, \ r=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}R }[/math]

,

где [math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{10}=\frac{\sqrt{5}-1}{4} }[/math], [math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{10}=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} }[/math], [math]\displaystyle{ tg\frac{\pi}{10}=\frac{\sqrt{25-10\sqrt{5}}}{5} }[/math], [math]\displaystyle{ ctg\frac{\pi}{10}=\sqrt{5+2\sqrt{5}} }[/math]

Другие многоугольники[править]