Площадь правильного десятиугольника

Правильный десятиугольник

Площадь правильного десятиугольника — число, характеризующее правильный десятиугольник в единицах измерения площади.

Определение

Правильный десятиугольник — десятиугольник (декагон) у которого все стороны и углы равны.

Обозначения

a — длина стороны;

n — число сторон, n=10;

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

α — половинный центральный угол, α=π/10=18°;

β — внутренний угол между соседними сторонами, β=4π/5=144°;

γ — центральный угол, γ=π/5=36°;

P₁₀ — периметр правильного десятиугольника;

S_Δ — площадь равнобедренного треугольника с основанием, равным стороне, и боковыми сторонами, равными радиусу описанной окружности;

S₁₀ — площадь правильного десятиугольника.

Формулы

• Применяя формулу площади правильного n-угольника для n=10, получим:

$S_{10}=5a^{2}ctg{\frac {\pi }{10}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{10}=10S_{\triangle },\ S_{\triangle }={\frac {a^{2}}{4}}ctg{\frac {\pi }{10}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{10}={\frac {1}{2}}P_{10}r,\ P_{10}=10a,\ r={\frac {a}{2}}ctg{\frac {\pi }{10}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{10}=10R^{2}\sin {\frac {\pi }{10}}\cos {\frac {\pi }{10}},\ R={\frac {a}{2\sin {\frac {\pi }{10}}}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{10}=10r^{2}tg{\frac {\pi }{10}},\ r=R\cos {\frac {\pi }{10}}$

• Учитывая значения тригонометрических функций для α=π/10, получим:

$S_{10}={\frac {5{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}{2}}a^{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{10}=10S_{\triangle },\ S_{\triangle }={\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{4}}a^{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{10}={\frac {1}{2}}P_{10}r,\ P_{10}=10a,\ r={\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{2}}a\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{10}={\frac {5{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}{4}}R^{2},\ R={\frac {\sqrt {{\sqrt {5}}+1}}{2}}a\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{10}=2{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}r^{2},\ r={\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}R$

,

где $\sin {\frac {\pi }{10}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}$, $\cos {\frac {\pi }{10}}={\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}$, $tg{\frac {\pi }{10}}={\frac {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}{5}}$, $ctg{\frac {\pi }{10}}={\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$

Другие многоугольники:

• треугольник (тригон);
• четырёхугольник (тетрагон);
• пятиугольник (пентагон);
• шестиугольник (гексагон);
• семиугольник (гептагон);
• восьмиугольник (октагон);
• девятиугольник (эннеагон);
• десятиугольник (декагон);
• одиннадцатиугольник (гендекагон);
• двенадцатиугольник (додекагон);
• тринадцатиугольник (тридекагон);
• четырнадцатиугольник (тетрадекагон);
• пятнадцатиугольник (пентадекагон);
• шестнадцатиугольник (гексадекагон);
• семнадцатиугольник (гептадекагон);
• восемнадцатиугольник (октадекагон);
• девятнадцатиугольник (эннеадекагон);
• двадцатиугольник (икосагон);
• правильный n-угольник.