Площадь правильного двадцатиугольника

Материал из Циклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Площадь правильного двадцатиугольника — это число, характеризующее правильный двадцатиугольник в единицах измерения площади.

Правильный двадцатиугольник — это двадцатиугольник, у которого все стороны и углы равны.

Обозначения[править]

Введём обозначения:

a — длина стороны;

n — число сторон, n=20;

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

α — половинный центральный угол, α=π/20;

P20 — периметр правильного двадцатиугольника;

SΔ — площадь равнобедренного треугольника с основанием, равным стороне, и боковыми сторонами, равными радиусу описанной окружности;

S20 — площадь правильного двадцатиугольника.

Формулы[править]

n=20:[править]

[math]\displaystyle{ S_{20}=5a^2ctg\frac{\pi}{20} \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_{20}=20S_{\triangle}, \ S_{\triangle}=\frac{a^2}{4}ctg\frac{\pi}{20} \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_{20}=\frac{1}{2}P_{20}r, \ P_{20}=20a, \ r=\frac{a}{2}ctg\frac{\pi}{20} \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_{20}=20R^2\sin\frac{\pi}{20}\cos\frac{\pi}{20}, \ R=\frac{a}{2\sin\frac{\pi}{20}} \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_{20}=20r^2tg\frac{\pi}{20}, \ r=R\cos\frac{\pi}{20} }[/math]

Используя значения тригонометрических функций углов для угла α=π/20:

[math]\displaystyle{ S_{20}=\frac{5\left(4+4\sqrt{5}+\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{50+10\sqrt{5}}\right)}{4}a^2 \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_{20}=20S_{\triangle}, \ S_{\triangle}=\frac{4+4\sqrt{5}+\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{50+10\sqrt{5}}}{16}a^2 \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_{20}=\frac{1}{2}P_{20}r, \ P_{20}=20a, \ r=\frac{4+4\sqrt{5}+\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{50+10\sqrt{5}}}{8}a \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_{20}=\frac{5\left(\sqrt{5}-1\right)}{2}R^2, \ R=\frac{\sqrt{40+10\sqrt{10+2\sqrt{5}}}+\sqrt{8+2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}}{4}a \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_{20}=5\left(4+4\sqrt{5}-\sqrt{10+2\sqrt{5}}-\sqrt{50+10\sqrt{5}}\right)r^2, \ r=\frac{\sqrt{8+2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}}{4}R, }[/math]

где

[math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{20}=\frac{\sqrt{8-2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}}{4}, \ \cos\frac{\pi}{20}=\frac{\sqrt{8+2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}}{4}, }[/math]
[math]\displaystyle{ tg\frac{\pi}{20}=\frac{4+4\sqrt{5}-\sqrt{10+2\sqrt{5}}-\sqrt{50+10\sqrt{5}}}{4}, }[/math]
[math]\displaystyle{ ctg\frac{\pi}{20}=\frac{4+4\sqrt{5}+\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{50+10\sqrt{5}}}{4}. }[/math]

Другие многоугольники[править]