Площадь правильного двадцатиугольника

Правильный двадцатиугольник

Площадь правильного двадцатиугольника — число, характеризующее правильный двадцатиугольник в единицах измерения площади.

Определение

Правильный двадцатиугольник — двадцатиугольник (икосагон) у которого все стороны и углы равны.

Обозначения

a — длина стороны;

n — число сторон, n=20;

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

α — половинный центральный угол, α=π/20=9°;

β — внутренний угол между соседними сторонами, β=9π/10=162°;

γ — центральный угол, γ=π/10=18°;

P₂₀ — периметр правильного двадцатиугольника;

S_Δ — площадь равнобедренного треугольника с основанием, равным стороне, и боковыми сторонами, равными радиусу описанной окружности;

S₂₀ — площадь правильного двадцатиугольника.

Формулы

• Применяя формулу площади правильного n-угольника для n=20, получим:

$S_{20}=5a^{2}ctg{\frac {\pi }{20}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{20}=20S_{\triangle },\ S_{\triangle }={\frac {a^{2}}{4}}ctg{\frac {\pi }{20}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{20}={\frac {1}{2}}P_{20}r,\ P_{20}=20a,\ r={\frac {a}{2}}ctg{\frac {\pi }{20}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{20}=20R^{2}\sin {\frac {\pi }{20}}\cos {\frac {\pi }{20}},\ R={\frac {a}{2\sin {\frac {\pi }{20}}}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{20}=20r^{2}tg{\frac {\pi }{20}},\ r=R\cos {\frac {\pi }{20}}$

• Учитывая значения тригонометрических функций для α=π/20, получим:

$S_{20}={\frac {5\left(4+4{\sqrt {5}}+{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}\right)}{4}}a^{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{20}=20S_{\triangle },\ S_{\triangle }={\frac {4+4{\sqrt {5}}+{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}}{16}}a^{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{20}={\frac {1}{2}}P_{20}r,\ P_{20}=20a,\ r={\frac {4+4{\sqrt {5}}+{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}}{8}}a\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{20}={\frac {5\left({\sqrt {5}}-1\right)}{2}}R^{2},\ R={\frac {{\sqrt {40+10{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}}+{\sqrt {8+2{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}}}{4}}a\Leftrightarrow$

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \Leftrightarrow S_{20}=5\left(4+4{\sqrt {5}}-{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}\right)r^{2},\ r={\frac {\sqrt {8+2{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}}{4}}R,}

где

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{20}}={\frac {\sqrt {8-2{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}}{4}},\ \cos {\frac {\pi }{20}}={\frac {\sqrt {8+2{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}}{4}},}

$tg{\frac {\pi }{20}}={\frac {4+4{\sqrt {5}}-{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}}{4}},$

$ctg{\frac {\pi }{20}}={\frac {4+4{\sqrt {5}}+{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}}{4}}.$

Другие многоугольники:

1. треугольник (тригон);
2. четырёхугольник (тетрагон);
3. пятиугольник (пентагон);
4. шестиугольник (гексагон);
5. семиугольник (гептагон);
6. восьмиугольник (октагон);
7. девятиугольник (эннеагон);
8. десятиугольник (декагон);
9. одиннадцатиугольник (гендекагон);
10. двенадцатиугольник (додекагон);
11. тринадцатиугольник (тридекагон);
12. четырнадцатиугольник (тетрадекагон);
13. пятнадцатиугольник (пентадекагон);
14. шестнадцатиугольник (гексадекагон);
15. семнадцатиугольник (гептадекагон);
16. восемнадцатиугольник (октадекагон);
17. девятнадцатиугольник (эннеадекагон);
18. двадцатиугольник (икосагон);
19. правильный n-угольник.

Ссылки

• Участник:Logic-samara