Площадь правильного двадцатиугольника

Правильный двадцатиугольник

Площадь правильного двадцатиугольника — число, характеризующее правильный двадцатиугольник в единицах измерения площади.

Определение

Правильный двадцатиугольник — двадцатиугольник (икосагон) у которого все стороны и углы равны.

Обозначения

a — длина стороны;

n — число сторон, n=20;

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

α — половинный центральный угол, α=π/20=9°;

β — внутренний угол между соседними сторонами, β=9π/10=162°;

γ — центральный угол, γ=π/10=18°;

P₂₀ — периметр правильного двадцатиугольника;

S_Δ — площадь равнобедренного треугольника с основанием, равным стороне, и боковыми сторонами, равными радиусу описанной окружности;

S₂₀ — площадь правильного двадцатиугольника.

Формулы

• Применяя формулу площади правильного n-угольника для n=20, получим:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_{20}=5a^2ctg\frac{\pi}{20} \Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow S_{20}=20S_{\triangle}, \ S_{\triangle}=\frac{a^2}{4}ctg\frac{\pi}{20} \Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow S_{20}=\frac{1}{2}P_{20}r, \ P_{20}=20a, \ r=\frac{a}{2}ctg\frac{\pi}{20} \Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow S_{20}=20R^2\sin\frac{\pi}{20}\cos\frac{\pi}{20}, \ R=\frac{a}{2\sin\frac{\pi}{20}} \Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow S_{20}=20r^2tg\frac{\pi}{20}, \ r=R\cos\frac{\pi}{20}}

• Учитывая значения тригонометрических функций для α=π/20, получим:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_{20}=\frac{5\left(4+4\sqrt{5}+\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{50+10\sqrt{5}}\right)}{4}a^2 \Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow S_{20}=20S_{\triangle}, \ S_{\triangle}=\frac{4+4\sqrt{5}+\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{50+10\sqrt{5}}}{16}a^2 \Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow S_{20}=\frac{1}{2}P_{20}r, \ P_{20}=20a, \ r=\frac{4+4\sqrt{5}+\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{50+10\sqrt{5}}}{8}a \Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow S_{20}=\frac{5\left(\sqrt{5}-1\right)}{2}R^2, \ R=\frac{\sqrt{40+10\sqrt{10+2\sqrt{5}}}+\sqrt{8+2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}}{4}a \Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow S_{20}=5\left(4+4\sqrt{5}-\sqrt{10+2\sqrt{5}}-\sqrt{50+10\sqrt{5}}\right)r^2, \ r=\frac{\sqrt{8+2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}}{4}R,}

где

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sin\frac{\pi}{20}=\frac{\sqrt{8-2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}}{4}, \ \cos\frac{\pi}{20}=\frac{\sqrt{8+2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}}{4},}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle tg\frac{\pi}{20}=\frac{4+4\sqrt{5}-\sqrt{10+2\sqrt{5}}-\sqrt{50+10\sqrt{5}}}{4},}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ctg\frac{\pi}{20}=\frac{4+4\sqrt{5}+\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{50+10\sqrt{5}}}{4}.}

Другие многоугольники:

1. треугольник (тригон);
2. четырёхугольник (тетрагон);
3. пятиугольник (пентагон);
4. шестиугольник (гексагон);
5. семиугольник (гептагон);
6. восьмиугольник (октагон);
7. девятиугольник (эннеагон);
8. десятиугольник (декагон);
9. одиннадцатиугольник (гендекагон);
10. двенадцатиугольник (додекагон);
11. тринадцатиугольник (тридекагон);
12. четырнадцатиугольник (тетрадекагон);
13. пятнадцатиугольник (пентадекагон);
14. шестнадцатиугольник (гексадекагон);
15. семнадцатиугольник (гептадекагон);
16. восемнадцатиугольник (октадекагон);
17. девятнадцатиугольник (эннеадекагон);
18. двадцатиугольник (икосагон);
19. правильный n-угольник.

Ссылки

• Участник:Logic-samara