Площадь правильного пятиугольника

Правильный пятиугольник

Площадь правильного пятиугольника — число, характеризующее правильный пятиугольник в единицах измерения площади.

Определение

Правильный пятиугольник — пятиугольник (пентагон) у которого все стороны и углы равны.

Обозначения

a — длина стороны;

n — число сторон, n = 5;

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

α — половинный центральный угол, α=π/5=36°;

β — внутренний угол между соседними сторонами, β=3π/5=108°;

γ — центральный угол, γ=2π/5=72°;

P₅ — периметр правильного пятиугольника;

S_Δ — площадь равнобедренного треугольника с основанием, равным стороне, и боковыми сторонами, равными радиусу описанной окружности;

S₅ — площадь правильного пятиугольника.

Формулы

• Применяя формулу площади правильного n-угольника для n=5, получим:

$S_{5}={\frac {5a^{2}}{4}}ctg{\frac {\pi }{5}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{5}=5S_{\triangle },\ S_{\triangle }={\frac {a^{2}}{4}}ctg{\frac {\pi }{5}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{5}={\frac {1}{2}}P_{5}r,\ P_{5}=5a,\ r={\frac {a}{2}}ctg{\frac {\pi }{5}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{5}=5R^{2}\sin {\frac {\pi }{5}}\cos {\frac {\pi }{5}},\ R={\frac {a}{2\sin {\frac {\pi }{5}}}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{5}=5r^{2}tg{\frac {\pi }{5}},\ r=R\cos {\frac {\pi }{5}}$

• Учитывая значения тригонометрических функций для α=π/5, получим:

$S_{5}={\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{4}}a^{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{5}=5S_{\triangle },\ S_{\triangle }={\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{20}}a^{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{5}={\frac {1}{2}}P_{5}r,\ P_{5}=5a,\ r={\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{10}}a\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{5}={\frac {5{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}{8}}R^{2},\ R={\frac {\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{10}}a\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{5}=5{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}r^{2},\ r={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}R$

где $\sin {\frac {\pi }{5}}={\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}$, $\cos {\frac {\pi }{5}}={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}$, $tg{\frac {\pi }{5}}={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$, $ctg{\frac {\pi }{5}}={\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{5}}$

Другие многоугольники:

• треугольник (тригон);
• четырёхугольник (тетрагон);
• пятиугольник (пентагон);
• шестиугольник (гексагон);
• семиугольник (гептагон);
• восьмиугольник (октагон);
• девятиугольник (эннеагон);
• десятиугольник (декагон);
• одиннадцатиугольник (гендекагон);
• двенадцатиугольник (додекагон);
• тринадцатиугольник (тридекагон);
• четырнадцатиугольник (тетрадекагон);
• пятнадцатиугольник (пентадекагон);
• шестнадцатиугольник (гексадекагон);
• семнадцатиугольник (гептадекагон);
• восемнадцатиугольник (октадекагон);
• девятнадцатиугольник (эннеадекагон);
• двадцатиугольник (икосагон);
• правильный n-угольник.