Площадь правильного пятиугольника

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Площадь правильного пятиугольника — это число, характеризующее правильный пятиугольник в единицах измерения площади.

Правильный пятиугольник (пентагон) — это пятиугольник, у которого все стороны и углы равны.

Обозначения[править]

Введём обозначения:

a — длина стороны;

n — число сторон, n = 5;

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

α — половинный центральный угол, α = π/5;

P5 — периметр правильного пятиугольника;

SΔ — площадь равнобедренного треугольника с основанием, равным стороне, и боковыми сторонами, равными радиусу описанной окружности;

S5 — площадь правильного пятиугольника.

Формулы[править]

Применима формула для площади правильного n-угольника при n=5:

[math]\displaystyle{ S_5=\frac{5a^2}{4}ctg\frac{\pi}{5} \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_5=5S_{\triangle}, \ S_{\triangle}=\frac{a^2}{4}ctg\frac{\pi}{5} \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_5=\frac{1}{2}P_5r, \ P_5=5a, \ r=\frac{a}{2}ctg\frac{\pi}{5} \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_5=5R^2\sin\frac{\pi}{5}\cos\frac{\pi}{5}, \ R=\frac{a}{2\sin\frac{\pi}{5}} \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_5=5r^2tg\frac{\pi}{5}, \ r=R\cos\frac{\pi}{5} }[/math]

Используя значения тригонометрических функций углов для угла α=π/5:

[math]\displaystyle{ S_5=\frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{4}a^2 \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_5=5S_{\triangle}, \ S_{\triangle}=\frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{20}a^2 \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_5=\frac{1}{2}P_5r, \ P_5=5a, \ r=\frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{10}a \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_5=\frac{5\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{8}R^2, \ R=\frac{\sqrt{50+10\sqrt{5}}}{10}a \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_5=5\sqrt{5-2\sqrt{5}}r^2, \ r=\frac{\sqrt{5}+1}{4}R }[/math]

где [math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{5}=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4} }[/math], [math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{5}=\frac{\sqrt{5}+1}{4} }[/math], [math]\displaystyle{ tg\frac{\pi}{5}=\sqrt{5-2\sqrt{5}} }[/math], [math]\displaystyle{ ctg\frac{\pi}{5}=\frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{5} }[/math]

Другие многоугольники[править]