Площадь равностороннего треугольника

Площадь равностороннего треугольника // KhanAcademyRussian [4:29]

Площадь равностороннего треугольника — это число, характеризующее равносторонний треугольник в единицах измерения площади.

Равносторонний треугольник — это правильный треугольник, у которого все стороны и углы равны.

Обозначения

Введём обозначения:

a — длина стороны;

n — число сторон, n=3;

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

α — половинный центральный угол, α=π/3;

P₃ — периметр правильного треугольника;

S_Δ — площадь равнобедренного треугольника с основанием, равным стороне, и боковыми сторонами, равными радиусу описанной окружности;

S₃ — площадь правильного треугольника.

Формулы

Применима формула для площади правильного n-угольника при n=3:

[math]\displaystyle{ S_3=\frac{3a^2}{4}ctg\frac{\pi}{3} \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_3=3S_{\triangle}, \ S_{\triangle}=\frac{a^2}{4}ctg\frac{\pi}{3} \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_3=\frac{1}{2}P_3r, \ P_3=3a, \ r=\frac{a}{2}ctg\frac{\pi}{3} \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_3=3R^2\sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{3}, \ R=\frac{a}{2\sin\frac{\pi}{3}} \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_3=3r^2tg\frac{\pi}{3}, \ r=R\cos\frac{\pi}{3} }[/math]

Используя значения тригонометрических функций углов для угла α=π/3:

[math]\displaystyle{ S_3=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_3=3S_{\triangle}, \ S_{\triangle}=\frac{\sqrt{3}}{12}a^2 \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_3=\frac{1}{2}P_3r, \ P_3=3a, \ r=\frac{\sqrt{3}}{6}a \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_3=\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2, \ R=\frac{\sqrt{3}}{3}a \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_3=3\sqrt{3}r^2, \ r=\frac{1}{2}R }[/math]

где [math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2} }[/math], [math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2} }[/math], [math]\displaystyle{ tg\frac{\pi}{3}=\sqrt{3} }[/math], [math]\displaystyle{ ctg\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3} }[/math]

См. также

• Площадь равнобедренного треугольника
• Площадь прямоугольного треугольника

Другие многоугольники

• Площадь равностороннего треугольника;
• Площадь квадрата;
• Площадь правильного пятиугольника;
• Площадь правильного шестиугольника;
• Площадь правильного восьмиугольника;
• Площадь правильного десятиугольника;
• Площадь правильного двенадцатиугольника;
• Площадь правильного шестнадцатиугольника;
• Площадь правильного двадцатиугольника;
• Площадь правильного n-угольника.