Площадь равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник

Площадь равностороннего треугольника // KhanAcademyRussian [4:29]

Площадь равностороннего треугольника — число, характеризующее равносторонний треугольник в единицах измерения площади.

Определение

Равносторонний треугольник — правильный треугольник или треугольник (тригон), у которого все стороны и углы равны.

Обозначения

a — длина стороны;

n — число сторон, n = 3;

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

α — половинный центральный угол, α = π/3 = 60°;

β — внутренний угол между соседними сторонами, β = π/3 = 60°;

γ — центральный угол, γ = 2π/3 = 120°;

P₃ — периметр правильного треугольника;

S_Δ — площадь равнобедренного треугольника с основанием, равным стороне, и боковыми сторонами, равными радиусу описанной окружности;

S₃ — площадь правильного треугольника.

Формулы

• Применяя формулу площади правильного n-угольника для n=3, получим:

$S_{3}={\frac {3a^{2}}{4}}ctg{\frac {\pi }{3}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{3}=3S_{\triangle },\ S_{\triangle }={\frac {a^{2}}{4}}ctg{\frac {\pi }{3}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{3}={\frac {1}{2}}P_{3}r,\ P_{3}=3a,\ r={\frac {a}{2}}ctg{\frac {\pi }{3}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{3}=3R^{2}\sin {\frac {\pi }{3}}\cos {\frac {\pi }{3}},\ R={\frac {a}{2\sin {\frac {\pi }{3}}}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{3}=3r^{2}tg{\frac {\pi }{3}},\ r=R\cos {\frac {\pi }{3}}$

• Учитывая значения тригонометрических функций для α=π/3, получим:

$S_{3}={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{3}=3S_{\triangle },\ S_{\triangle }={\frac {\sqrt {3}}{12}}a^{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{3}={\frac {1}{2}}P_{3}r,\ P_{3}=3a,\ r={\frac {\sqrt {3}}{6}}a\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{3}={\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}R^{2},\ R={\frac {\sqrt {3}}{3}}a\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{3}=3{\sqrt {3}}r^{2},\ r={\frac {1}{2}}R$

где $\sin {\frac {\pi }{3}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}$, $\cos {\frac {\pi }{3}}={\frac {1}{2}}$, $tg{\frac {\pi }{3}}={\sqrt {3}}$, $ctg{\frac {\pi }{3}}={\frac {\sqrt {3}}{3}}$

См. также

• Площадь треугольника
• Площадь равнобедренного треугольника
• Площадь прямоугольного треугольника

Другие многоугольники:

• треугольник (тригон);
• четырёхугольник (тетрагон);
• пятиугольник (пентагон);
• шестиугольник (гексагон);
• семиугольник (гептагон);
• восьмиугольник (октагон);
• девятиугольник (эннеагон);
• десятиугольник (декагон);
• одиннадцатиугольник (гендекагон);
• двенадцатиугольник (додекагон);
• тринадцатиугольник (тридекагон);
• четырнадцатиугольник (тетрадекагон);
• пятнадцатиугольник (пентадекагон);
• шестнадцатиугольник (гексадекагон);
• семнадцатиугольник (гептадекагон);
• восемнадцатиугольник (октадекагон);
• девятнадцатиугольник (эннеадекагон);
• двадцатиугольник (икосагон);
• правильный n-угольник.