Площадь правильного восьмиугольника

Площадь правильного восьмиугольника — это число, характеризующее правильный восьмиугольник в единицах измерения площади.

Правильный восьмиугольник (октагон) — это восьмиугольник, у которого все стороны и углы равны.

Обозначения

Введём обозначения:

a — длина стороны;

n — число сторон, n = 8;

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

α — половинный центральный угол, α = π/8;

P₈ — периметр правильного восьмиугольника;

S_Δ — площадь равнобедренного треугольника с основанием, равным стороне, и боковыми сторонами, равными радиусу описанной окружности;

S₈ — площадь правильного восьмиугольника.

Формулы

Применима формула для площади правильного n-угольника при n=8:

[math]\displaystyle{ S_8=2a^2ctg\frac{\pi}{8} \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_8=8S_{\triangle}, \ S_{\triangle}=\frac{a^2}{4}ctg\frac{\pi}{8} \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_8=\frac{1}{2}P_8r, \ P_8=8a, \ r=\frac{a}{2}ctg\frac{\pi}{8} \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_8=8R^2\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8}, \ R=\frac{a}{2\sin\frac{\pi}{8}} \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_8=8r^2tg\frac{\pi}{8}, \ r=R\cos\frac{\pi}{8} }[/math]

Используя значения тригонометрических функций углов для угла α=π/8:

[math]\displaystyle{ S_8=2\left(\sqrt{2}+1\right)a^2 \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_8=8S_{\triangle}, \ S_{\triangle}=\frac{\sqrt{2}+1}{4}a^2 \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_8=\frac{1}{2}P_5r, \ P_8=8a, \ r=\frac{\sqrt{2}+1}{2}a \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_8=2\sqrt{2}R^2, \ R=\frac{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}{2}a \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_8=8(\sqrt{2}-1)r^2, \ r=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}R }[/math]

где [math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{8}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} }[/math], [math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{8}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} }[/math], [math]\displaystyle{ tg\frac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1 }[/math], [math]\displaystyle{ ctg\frac{\pi}{8}=\sqrt{2}+1 }[/math]

Другие многоугольники

• Площадь равностороннего треугольника;
• Площадь квадрата;
• Площадь правильного пятиугольника;
• Площадь правильного шестиугольника;
• Площадь правильного восьмиугольника;
• Площадь правильного десятиугольника;
• Площадь правильного двенадцатиугольника;
• Площадь правильного шестнадцатиугольника;
• Площадь правильного двадцатиугольника;
• Площадь правильного n-угольника.