Площадь правильного восьмиугольника

Правильный восьмиугольник

Площадь правильного восьмиугольника — число, характеризующее правильный восьмиугольник в единицах измерения площади.

Определение

Правильный восьмиугольник — это восьмиугольник (октагон) у которого все стороны и углы равны.

Обозначения

a — длина стороны;

n — число сторон, n = 8;

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

α — половинный центральный угол, α=π/8=22 1/2 °;

β — внутренний угол между соседними сторонами, β=3π/4=135°;

γ — центральный угол, γ=π/4=45°;

P₈ — периметр правильного восьмиугольника;

S_Δ — площадь равнобедренного треугольника с основанием, равным стороне, и боковыми сторонами, равными радиусу описанной окружности;

S₈ — площадь правильного восьмиугольника.

Формулы

• Применяя формулу площади правильного n-угольника для n=8, получим:

$S_{8}=2a^{2}ctg{\frac {\pi }{8}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{8}=8S_{\triangle },\ S_{\triangle }={\frac {a^{2}}{4}}ctg{\frac {\pi }{8}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{8}={\frac {1}{2}}P_{8}r,\ P_{8}=8a,\ r={\frac {a}{2}}ctg{\frac {\pi }{8}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{8}=8R^{2}\sin {\frac {\pi }{8}}\cos {\frac {\pi }{8}},\ R={\frac {a}{2\sin {\frac {\pi }{8}}}}\Leftrightarrow$

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \Leftrightarrow S_{8}=8r^{2}tg{\frac {\pi }{8}},\ r=R\cos {\frac {\pi }{8}}}

• Учитывая значения тригонометрических функций для α=π/8, получим:

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle S_{8}=2\left({\sqrt {2}}+1\right)a^{2}\Leftrightarrow }

$\Leftrightarrow S_{8}=8S_{\triangle },\ S_{\triangle }={\frac {{\sqrt {2}}+1}{4}}a^{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{8}={\frac {1}{2}}P_{5}r,\ P_{8}=8a,\ r={\frac {{\sqrt {2}}+1}{2}}a\Leftrightarrow$

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \Leftrightarrow S_{8}=2{\sqrt {2}}R^{2},\ R={\frac {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}{2}}a\Leftrightarrow }

$\Leftrightarrow S_{8}=8({\sqrt {2}}-1)r^{2},\ r={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}R$

где $\sin {\frac {\pi }{8}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}$, $\cos {\frac {\pi }{8}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}$, Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle tg{\frac {\pi }{8}}={\sqrt {2}}-1} , $ctg{\frac {\pi }{8}}={\sqrt {2}}+1$

Другие многоугольники:

1. треугольник (тригон);
2. четырёхугольник (тетрагон);
3. пятиугольник (пентагон);
4. шестиугольник (гексагон);
5. семиугольник (гептагон);
6. восьмиугольник (октагон);
7. девятиугольник (эннеагон);
8. десятиугольник (декагон);
9. одиннадцатиугольник (гендекагон);
10. двенадцатиугольник (додекагон);
11. тринадцатиугольник (тридекагон);
12. четырнадцатиугольник (тетрадекагон);
13. пятнадцатиугольник (пентадекагон);
14. шестнадцатиугольник (гексадекагон);
15. семнадцатиугольник (гептадекагон);
16. восемнадцатиугольник (октадекагон);
17. девятнадцатиугольник (эннеадекагон);
18. двадцатиугольник (икосагон);
19. правильный n-угольник.