Площадь правильного восьмиугольника
Площадь правильного восьмиугольника — это число, характеризующее правильный восьмиугольник в единицах измерения площади.
Правильный восьмиугольник (октагон) — это восьмиугольник, у которого все стороны и углы равны.
Обозначения[править]
Введём обозначения:
a — длина стороны;
n — число сторон, n = 8;
r — радиус вписанной окружности;
R — радиус описанной окружности;
α — половинный центральный угол, α = π/8;
P8 — периметр правильного восьмиугольника;
SΔ — площадь равнобедренного треугольника с основанием, равным стороне, и боковыми сторонами, равными радиусу описанной окружности;
S8 — площадь правильного восьмиугольника.
Формулы[править]
Применима формула для площади правильного n-угольника при n=8:
- [math]\displaystyle{ S_8=2a^2ctg\frac{\pi}{8} \Leftrightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_8=8S_{\triangle}, \ S_{\triangle}=\frac{a^2}{4}ctg\frac{\pi}{8} \Leftrightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_8=\frac{1}{2}P_8r, \ P_8=8a, \ r=\frac{a}{2}ctg\frac{\pi}{8} \Leftrightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_8=8R^2\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8}, \ R=\frac{a}{2\sin\frac{\pi}{8}} \Leftrightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_8=8r^2tg\frac{\pi}{8}, \ r=R\cos\frac{\pi}{8} }[/math]
Используя значения тригонометрических функций углов для угла α=π/8:
- [math]\displaystyle{ S_8=2\left(\sqrt{2}+1\right)a^2 \Leftrightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_8=8S_{\triangle}, \ S_{\triangle}=\frac{\sqrt{2}+1}{4}a^2 \Leftrightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_8=\frac{1}{2}P_5r, \ P_8=8a, \ r=\frac{\sqrt{2}+1}{2}a \Leftrightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_8=2\sqrt{2}R^2, \ R=\frac{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}{2}a \Leftrightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_8=8(\sqrt{2}-1)r^2, \ r=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}R }[/math]
где [math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{8}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} }[/math], [math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{8}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} }[/math], [math]\displaystyle{ tg\frac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1 }[/math], [math]\displaystyle{ ctg\frac{\pi}{8}=\sqrt{2}+1 }[/math]
Другие многоугольники[править]
- Площадь равностороннего треугольника;
- Площадь квадрата;
- Площадь правильного пятиугольника;
- Площадь правильного шестиугольника;
- Площадь правильного восьмиугольника;
- Площадь правильного десятиугольника;
- Площадь правильного двенадцатиугольника;
- Площадь правильного шестнадцатиугольника;
- Площадь правильного двадцатиугольника;
- Площадь правильного n-угольника.