Площадь правильного двенадцатиугольника

Правильный двенадцатиугольник

Площадь правильного двенадцатиугольника — число, характеризующее правильный двенадцатиугольник в единицах измерения площади.

Определение

Правильный двенадцатиугольник — двенадцатиугольник (додекагон) у которого все стороны и углы равны.

Обозначения

a — длина стороны;

n — число сторон, n = 12;

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

α — половинный центральный угол, α=π/12=15°;

β — внутренний угол между соседними сторонами, β=5π/6=150°;

γ — центральный угол, γ=π/6=30°;

P₁₂ — периметр правильного двенадцатиугольника;

S_Δ — площадь равнобедренного треугольника с основанием, равным стороне, и боковыми сторонами, равными радиусу описанной окружности;

S₁₂ — площадь правильного двенадцатиугольника.

Формулы

• Применяя формулу площади правильного n-угольника для n=12, получим:

$S_{12}=3a^{2}ctg{\frac {\pi }{12}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{12}=12S_{\triangle },\ S_{\triangle }={\frac {a^{2}}{4}}ctg{\frac {\pi }{12}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{12}={\frac {1}{2}}P_{12}r,\ P_{12}=12a,\ r={\frac {a}{2}}ctg{\frac {\pi }{12}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{12}=12R^{2}\sin {\frac {\pi }{12}}\cos {\frac {\pi }{12}},\ R={\frac {a}{2\sin {\frac {\pi }{12}}}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{12}=12r^{2}tg{\frac {\pi }{12}},\ r=R\cos {\frac {\pi }{12}}$

• Учитывая значения тригонометрических функций для α=π/12, получим:

$S_{12}=3\left(2+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{12}=12S_{\triangle },\ S_{\triangle }={\frac {2+{\sqrt {3}}}{4}}a^{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{12}={\frac {1}{2}}P_{12}r,\ P_{12}=12a,\ r={\frac {2+{\sqrt {3}}}{2}}a\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{12}=3R^{2},\ R={\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}a\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{12}=12\left(2-{\sqrt {3}}\right)r^{2},\ r={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}R$

где $\sin {\frac {\pi }{12}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}{2}}$, $\cos {\frac {\pi }{12}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}$, $tg{\frac {\pi }{12}}=2-{\sqrt {3}}$, $ctg{\frac {\pi }{12}}=2+{\sqrt {3}}.$

Другие многоугольники:

• треугольник (тригон);
• четырёхугольник (тетрагон);
• пятиугольник (пентагон);
• шестиугольник (гексагон);
• семиугольник (гептагон);
• восьмиугольник (октагон);
• девятиугольник (эннеагон);
• десятиугольник (декагон);
• одиннадцатиугольник (гендекагон);
• двенадцатиугольник (додекагон);
• тринадцатиугольник (тридекагон);
• четырнадцатиугольник (тетрадекагон);
• пятнадцатиугольник (пентадекагон);
• шестнадцатиугольник (гексадекагон);
• семнадцатиугольник (гептадекагон);
• восемнадцатиугольник (октадекагон);
• девятнадцатиугольник (эннеадекагон);
• двадцатиугольник (икосагон);
• правильный n-угольник.