Площадь правильного двенадцатиугольника

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Площадь правильного двенадцатиугольника — это число, характеризующее правильный двенадцатиугольник в единицах измерения площади.

Правильный двенадцатиугольник (додекагон) — это двенадцатиугольник, у которого все стороны и углы равны.

Обозначения[править]

Введём обозначения:

a — длина стороны;

n — число сторон, n = 12;

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

α — половинный центральный угол, α = π/12;

P12 — периметр правильного двенадцатиугольника;

SΔ — площадь равнобедренного треугольника с основанием, равным стороне, и боковыми сторонами, равными радиусу описанной окружности;

S12 — площадь правильного двенадцатиугольника.

Формулы[править]

Применима формула для площади правильного n-угольника при n=12:

[math]\displaystyle{ S_{12}=3a^2ctg\frac{\pi}{12} \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_{12}=12S_{\triangle}, \ S_{\triangle}=\frac{a^2}{4}ctg\frac{\pi}{12} \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_{12}=\frac{1}{2}P_{12}r, \ P_{12}=12a, \ r=\frac{a}{2}ctg\frac{\pi}{12} \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_{12}=12R^2\sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{\pi}{12}, \ R=\frac{a}{2\sin\frac{\pi}{12}} \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_{12}=12r^2tg\frac{\pi}{12}, \ r=R\cos\frac{\pi}{12} }[/math]

Используя значения тригонометрических функций углов для угла α=π/12:

[math]\displaystyle{ S_{12}=3\left(2+\sqrt{3}\right)a^2 \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_{12}=12S_{\triangle}, \ S_{\triangle}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}a^2 \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_{12}=\frac{1}{2}P_{12}r, \ P_{12}=12a, \ r=\frac{2+\sqrt{3}}{2}a \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_{12}=3R^2, \ R=\sqrt{2+\sqrt{3}}a \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_{12}=12\left(2-\sqrt{3}\right)r^2, \ r=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}R }[/math]

где [math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2} }[/math], [math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2} }[/math], [math]\displaystyle{ tg\frac{\pi}{12}=2-\sqrt{3} }[/math], [math]\displaystyle{ ctg\frac{\pi}{12}=2+\sqrt{3}. }[/math]

Другие многоугольники[править]