Площадь квадрата

Квадрат

48 Площадь квадрата // Видео уроки ОНЛАЙН [5:18]

Площадь квадрата — число, характеризующее квадрат в единицах измерения площади.

Определение

Квадрат — правильный четырёхугольник, у которого все стороны и углы равны.

Обозначения

a — длина стороны;

n — число сторон, n=4;

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

α — половинный центральный угол, α=π/4=45°;

β — внутренний угол между соседними сторонами, β=π/2=90°;

γ — центральный угол, γ=π/2=90°;

P₄ — периметр правильного четырёхугольника;

S_Δ — площадь равнобедренного треугольника с основанием, равным стороне, и боковыми сторонами, равными радиусу описанной окружности;

S₄ — площадь правильного четырёхугольника.

Формулы

• Для формулы площади правильного n-угольника для n=4:

$S_{4}=a^{2}ctg{\frac {\pi }{4}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{4}=4S_{\triangle },\ S_{\triangle }={\frac {a^{2}}{4}}ctg{\frac {\pi }{4}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{4}={\frac {1}{2}}P_{4}r,\ P_{4}=4a,\ r={\frac {a}{2}}ctg{\frac {\pi }{4}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{4}=4R^{2}\sin {\frac {\pi }{4}}\cos {\frac {\pi }{4}},\ R={\frac {a}{2\sin {\frac {\pi }{4}}}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{4}=4r^{2}tg{\frac {\pi }{4}},\ r=R\cos {\frac {\pi }{4}}$

• С учётом значения тригонометрических функций для α=π/4:

$S_{4}=a^{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{4}=4S_{\triangle },\ S_{\triangle }={\frac {1}{4}}a^{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{4}={\frac {1}{2}}P_{4}r,\ P_{4}=4a,\ r={\frac {1}{2}}a\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{4}=2R^{2},\ R={\frac {\sqrt {2}}{2}}a\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{4}=4r^{2},\ r={\frac {\sqrt {2}}{2}}R,$

где $\sin {\frac {\pi }{4}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}$, $\cos {\frac {\pi }{4}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}$, $tg{\frac {\pi }{4}}=1$, $ctg{\frac {\pi }{4}}=1$.

См.также

• Площадь четырёхугольника
• Площадь параллелограмма
• Площадь прямоугольника
• Площадь ромба

Другие многоугольники

• треугольник (тригон);
• четырёхугольник (тетрагон);
• пятиугольник (пентагон);
• шестиугольник (гексагон);
• семиугольник (гептагон);
• восьмиугольник (октагон);
• девятиугольник (эннеагон);
• десятиугольник (декагон);
• одиннадцатиугольник (гендекагон);
• двенадцатиугольник (додекагон);
• тринадцатиугольник (тридекагон);
• четырнадцатиугольник (тетрадекагон);
• пятнадцатиугольник (пентадекагон);
• шестнадцатиугольник (гексадекагон);
• семнадцатиугольник (гептадекагон);
• восемнадцатиугольник (октадекагон);
• девятнадцатиугольник (эннеадекагон);
• двадцатиугольник (икосагон);
• правильный n-угольник.