Площадь квадрата
Площадь квадрата — это число, характеризующее квадрат в единицах измерения площади.
Обозначения[править]
Введём обозначения:
a — длина стороны;
n — число сторон, n=4;
r — радиус вписанной окружности;
R — радиус описанной окружности;
α — половинный центральный угол, α=π/4;
P4 — периметр правильного четырёхугольника;
SΔ — площадь равнобедренного треугольника с основанием, равным стороне, и боковыми сторонами, равными радиусу описанной окружности;
S4 — площадь правильного четырёхугольника.
Формулы[править]
Применима формула для площади правильного n-угольника при n=4:
- [math]\displaystyle{ S_4=a^2ctg\frac{\pi}{4} \Leftrightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_4=4S_{\triangle}, \ S_{\triangle}=\frac{a^2}{4}ctg\frac{\pi}{4} \Leftrightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_4=\frac{1}{2}P_4r, \ P_4=4a, \ r=\frac{a}{2}ctg\frac{\pi}{4} \Leftrightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_4=4R^2\sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{4}, \ R=\frac{a}{2\sin\frac{\pi}{4}} \Leftrightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_4=4r^2tg\frac{\pi}{4}, \ r=R\cos\frac{\pi}{4} }[/math]
Используя значения тригонометрических функций углов для угла α=π/4:
- [math]\displaystyle{ S_4=a^2 \Leftrightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_4=4S_{\triangle}, \ S_{\triangle}=\frac{1}{4}a^2 \Leftrightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_4=\frac{1}{2}P_4r, \ P_4=4a, \ r=\frac{1}{2}a \Leftrightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_4=2R^2, \ R=\frac{\sqrt{2}}{2}a \Leftrightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_4=4r^2, \ r=\frac{\sqrt{2}}{2}R, }[/math]
где [math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2} }[/math], [math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2} }[/math], [math]\displaystyle{ tg\frac{\pi}{4}=1 }[/math], [math]\displaystyle{ ctg\frac{\pi}{4}=1 }[/math].
Другие многоугольники[править]
- Площадь равностороннего треугольника;
- Площадь квадрата;
- Площадь правильного пятиугольника;
- Площадь правильного шестиугольника;
- Площадь правильного восьмиугольника;
- Площадь правильного десятиугольника;
- Площадь правильного двенадцатиугольника;
- Площадь правильного шестнадцатиугольника;
- Площадь правильного двадцатиугольника;
- Площадь правильного n-угольника.