Площадь квадрата

48 Площадь квадрата // Видео уроки ОНЛАЙН [5:18]

Площадь квадрата — это число, характеризующее квадрат в единицах измерения площади.

Обозначения

Введём обозначения:

a — длина стороны;

n — число сторон, n=4;

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

α — половинный центральный угол, α=π/4;

P₄ — периметр правильного четырёхугольника;

S_Δ — площадь равнобедренного треугольника с основанием, равным стороне, и боковыми сторонами, равными радиусу описанной окружности;

S₄ — площадь правильного четырёхугольника.

Формулы

Применима формула для площади правильного n-угольника при n=4:

[math]\displaystyle{ S_4=a^2ctg\frac{\pi}{4} \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_4=4S_{\triangle}, \ S_{\triangle}=\frac{a^2}{4}ctg\frac{\pi}{4} \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_4=\frac{1}{2}P_4r, \ P_4=4a, \ r=\frac{a}{2}ctg\frac{\pi}{4} \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_4=4R^2\sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{4}, \ R=\frac{a}{2\sin\frac{\pi}{4}} \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_4=4r^2tg\frac{\pi}{4}, \ r=R\cos\frac{\pi}{4} }[/math]

Используя значения тригонометрических функций углов для угла α=π/4:

[math]\displaystyle{ S_4=a^2 \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_4=4S_{\triangle}, \ S_{\triangle}=\frac{1}{4}a^2 \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_4=\frac{1}{2}P_4r, \ P_4=4a, \ r=\frac{1}{2}a \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_4=2R^2, \ R=\frac{\sqrt{2}}{2}a \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_4=4r^2, \ r=\frac{\sqrt{2}}{2}R, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2} }[/math], [math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2} }[/math], [math]\displaystyle{ tg\frac{\pi}{4}=1 }[/math], [math]\displaystyle{ ctg\frac{\pi}{4}=1 }[/math].

Другие многоугольники

• Площадь равностороннего треугольника;
• Площадь квадрата;
• Площадь правильного пятиугольника;
• Площадь правильного шестиугольника;
• Площадь правильного восьмиугольника;
• Площадь правильного десятиугольника;
• Площадь правильного двенадцатиугольника;
• Площадь правильного шестнадцатиугольника;
• Площадь правильного двадцатиугольника;
• Площадь правильного n-угольника.