Площадь правильного шестиугольника

Правильный шестиугольник

Площадь правильного шестиугольника // KhanAcademyRussian [9:01]

Площадь правильного шестиугольника — число, характеризующее правильный шестиугольник в единицах измерения площади.

Определение

Правильный шестиугольник — шестиугольник (гексагон) у которого все стороны и углы равны.

Обозначения

a — длина стороны;

n — число сторон, n = 6;

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

α — половинный центральный угол, α=π/6=30°;

β — внутренний угол между соседними сторонами, β=2π/3=120°;

γ — центральный угол, γ=π/3=60°;

P₆ — периметр правильного шестиугольника;

S_Δ — площадь равнобедренного треугольника с основанием, равным стороне, и боковыми сторонами, равными радиусу описанной окружности;

S₆ — площадь правильного шестиугольника.

Формулы

• Применяя формулу площади правильного n-угольника для n=6, получим:

$S_{6}={\frac {3a^{2}}{2}}ctg{\frac {\pi }{6}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{6}=6S_{\triangle },\ S_{\triangle }={\frac {a^{2}}{4}}ctg{\frac {\pi }{6}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{6}={\frac {1}{2}}P_{6}r,\ P_{6}=6a,\ r={\frac {a}{2}}ctg{\frac {\pi }{6}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{6}=6R^{2}\sin {\frac {\pi }{6}}\cos {\frac {\pi }{6}},\ R={\frac {a}{2\sin {\frac {\pi }{6}}}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{6}=6r^{2}tg{\frac {\pi }{6}},\ r=R\cos {\frac {\pi }{6}}$

• Учитывая значения тригонометрических функций для α=π/6, получим:

$S_{6}={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}a^{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{6}=6S_{\triangle },\ S_{\triangle }={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{6}={\frac {1}{2}}P_{6}r,\ P_{6}=6a,\ r={\frac {\sqrt {3}}{2}}a\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{6}={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}R^{2},\ R=a\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{6}=2{\sqrt {3}}r^{2},\ r={\frac {\sqrt {3}}{2}}R$

где $\sin {\frac {\pi }{6}}={\frac {1}{2}}$, $\cos {\frac {\pi }{6}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}$, $tg{\frac {\pi }{6}}={\frac {\sqrt {3}}{3}}$, $ctg{\frac {\pi }{6}}={\sqrt {3}}$

Другие многоугольники:

• треугольник (тригон);
• четырёхугольник (тетрагон);
• пятиугольник (пентагон);
• шестиугольник (гексагон);
• семиугольник (гептагон);
• восьмиугольник (октагон);
• девятиугольник (эннеагон);
• десятиугольник (декагон);
• одиннадцатиугольник (гендекагон);
• двенадцатиугольник (додекагон);
• тринадцатиугольник (тридекагон);
• четырнадцатиугольник (тетрадекагон);
• пятнадцатиугольник (пентадекагон);
• шестнадцатиугольник (гексадекагон);
• семнадцатиугольник (гептадекагон);
• восемнадцатиугольник (октадекагон);
• девятнадцатиугольник (эннеадекагон);
• двадцатиугольник (икосагон);
• правильный n-угольник.