Площадь правильного шестиугольника
Площадь правильного шестиугольника — это число, характеризующее правильный шестиугольник в единицах измерения площади.
Правильный шестиугольник (гексагон) — это шестиугольник, у которого все стороны и углы равны.
Обозначения[править]
Введём обозначения:
a — длина стороны;
n — число сторон, n = 6;
r — радиус вписанной окружности;
R — радиус описанной окружности;
α — половинный центральный угол, α = π/6;
P6 — периметр правильного шестиугольника;
SΔ — площадь равнобедренного треугольника с основанием, равным стороне, и боковыми сторонами, равными радиусу описанной окружности;
S6 — площадь правильного шестиугольника.
Формулы[править]
Применима формула для площади правильного n-угольника при n=6:
- [math]\displaystyle{ S_6=\frac{3a^2}{2}ctg\frac{\pi}{6} \Leftrightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_6=6S_{\triangle}, \ S_{\triangle}=\frac{a^2}{4}ctg\frac{\pi}{6} \Leftrightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_6=\frac{1}{2}P_6r, \ P_6=6a, \ r=\frac{a}{2}ctg\frac{\pi}{6} \Leftrightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_6=6R^2\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{6}, \ R=\frac{a}{2\sin\frac{\pi}{6}} \Leftrightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_6=6r^2tg\frac{\pi}{6}, \ r=R\cos\frac{\pi}{6} }[/math]
Используя значения тригонометрических функций углов для угла α=π/6:
- [math]\displaystyle{ S_6=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 \Leftrightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_6=6S_{\triangle}, \ S_{\triangle}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \Leftrightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_6=\frac{1}{2}P_6r, \ P_6=6a, \ r=\frac{\sqrt{3}}{2}a \Leftrightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_6=\frac{3\sqrt{3}}{2}R^2, \ R=a \Leftrightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_6=2\sqrt{3}r^2, \ r=\frac{\sqrt{3}}{2}R }[/math]
где [math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2} }[/math], [math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2} }[/math], [math]\displaystyle{ tg\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3} }[/math], [math]\displaystyle{ ctg\frac{\pi}{6}=\sqrt{3} }[/math]
Другие многоугольники[править]
- Площадь равностороннего треугольника;
- Площадь квадрата;
- Площадь правильного пятиугольника;
- Площадь правильного шестиугольника;
- Площадь правильного восьмиугольника;
- Площадь правильного десятиугольника;
- Площадь правильного двенадцатиугольника;
- Площадь правильного шестнадцатиугольника;
- Площадь правильного двадцатиугольника;
- Площадь правильного n-угольника.