Площадь правильного шестиугольника

Площадь правильного шестиугольника // KhanAcademyRussian [9:01]

Площадь правильного шестиугольника — это число, характеризующее правильный шестиугольник в единицах измерения площади.

Правильный шестиугольник (гексагон) — это шестиугольник, у которого все стороны и углы равны.

Обозначения

Введём обозначения:

a — длина стороны;

n — число сторон, n = 6;

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

α — половинный центральный угол, α = π/6;

P₆ — периметр правильного шестиугольника;

S_Δ — площадь равнобедренного треугольника с основанием, равным стороне, и боковыми сторонами, равными радиусу описанной окружности;

S₆ — площадь правильного шестиугольника.

Формулы

Применима формула для площади правильного n-угольника при n=6:

[math]\displaystyle{ S_6=\frac{3a^2}{2}ctg\frac{\pi}{6} \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_6=6S_{\triangle}, \ S_{\triangle}=\frac{a^2}{4}ctg\frac{\pi}{6} \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_6=\frac{1}{2}P_6r, \ P_6=6a, \ r=\frac{a}{2}ctg\frac{\pi}{6} \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_6=6R^2\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{6}, \ R=\frac{a}{2\sin\frac{\pi}{6}} \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_6=6r^2tg\frac{\pi}{6}, \ r=R\cos\frac{\pi}{6} }[/math]

Используя значения тригонометрических функций углов для угла α=π/6:

[math]\displaystyle{ S_6=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_6=6S_{\triangle}, \ S_{\triangle}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_6=\frac{1}{2}P_6r, \ P_6=6a, \ r=\frac{\sqrt{3}}{2}a \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_6=\frac{3\sqrt{3}}{2}R^2, \ R=a \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_6=2\sqrt{3}r^2, \ r=\frac{\sqrt{3}}{2}R }[/math]

где [math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2} }[/math], [math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2} }[/math], [math]\displaystyle{ tg\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3} }[/math], [math]\displaystyle{ ctg\frac{\pi}{6}=\sqrt{3} }[/math]

Другие многоугольники

• Площадь равностороннего треугольника;
• Площадь квадрата;
• Площадь правильного пятиугольника;
• Площадь правильного шестиугольника;
• Площадь правильного восьмиугольника;
• Площадь правильного десятиугольника;
• Площадь правильного двенадцатиугольника;
• Площадь правильного шестнадцатиугольника;
• Площадь правильного двадцатиугольника;
• Площадь правильного n-угольника.