Площадь правильного шестиугольника

Правильный шестиугольник

Площадь правильного шестиугольника // KhanAcademyRussian [9:01]

Площадь правильного шестиугольника — число, характеризующее правильный шестиугольник в единицах измерения площади.

Определение

Правильный шестиугольник — шестиугольник (гексагон) у которого все стороны и углы равны.

Обозначения

a — длина стороны;

n — число сторон, n = 6;

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

α — половинный центральный угол, α=π/6=30°;

β — внутренний угол между соседними сторонами, β=2π/3=120°;

γ — центральный угол, γ=π/3=60°;

P₆ — периметр правильного шестиугольника;

S_Δ — площадь равнобедренного треугольника с основанием, равным стороне, и боковыми сторонами, равными радиусу описанной окружности;

S₆ — площадь правильного шестиугольника.

Формулы

• Применяя формулу площади правильного n-угольника для n=6, получим:

$S_{6}={\frac {3a^{2}}{2}}ctg{\frac {\pi }{6}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{6}=6S_{\triangle },\ S_{\triangle }={\frac {a^{2}}{4}}ctg{\frac {\pi }{6}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{6}={\frac {1}{2}}P_{6}r,\ P_{6}=6a,\ r={\frac {a}{2}}ctg{\frac {\pi }{6}}\Leftrightarrow$

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \Leftrightarrow S_{6}=6R^{2}\sin {\frac {\pi }{6}}\cos {\frac {\pi }{6}},\ R={\frac {a}{2\sin {\frac {\pi }{6}}}}\Leftrightarrow }

$\Leftrightarrow S_{6}=6r^{2}tg{\frac {\pi }{6}},\ r=R\cos {\frac {\pi }{6}}$

• Учитывая значения тригонометрических функций для α=π/6, получим:

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle S_{6}={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}a^{2}\Leftrightarrow }

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \Leftrightarrow S_{6}=6S_{\triangle },\ S_{\triangle }={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}\Leftrightarrow }

$\Leftrightarrow S_{6}={\frac {1}{2}}P_{6}r,\ P_{6}=6a,\ r={\frac {\sqrt {3}}{2}}a\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{6}={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}R^{2},\ R=a\Leftrightarrow$

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \Leftrightarrow S_{6}=2{\sqrt {3}}r^{2},\ r={\frac {\sqrt {3}}{2}}R}

где $\sin {\frac {\pi }{6}}={\frac {1}{2}}$, Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{6}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}} , $tg{\frac {\pi }{6}}={\frac {\sqrt {3}}{3}}$, $ctg{\frac {\pi }{6}}={\sqrt {3}}$

Другие многоугольники:

1. треугольник (тригон);
2. четырёхугольник (тетрагон);
3. пятиугольник (пентагон);
4. шестиугольник (гексагон);
5. семиугольник (гептагон);
6. восьмиугольник (октагон);
7. девятиугольник (эннеагон);
8. десятиугольник (декагон);
9. одиннадцатиугольник (гендекагон);
10. двенадцатиугольник (додекагон);
11. тринадцатиугольник (тридекагон);
12. четырнадцатиугольник (тетрадекагон);
13. пятнадцатиугольник (пентадекагон);
14. шестнадцатиугольник (гексадекагон);
15. семнадцатиугольник (гептадекагон);
16. восемнадцатиугольник (октадекагон);
17. девятнадцатиугольник (эннеадекагон);
18. двадцатиугольник (икосагон);
19. правильный n-угольник.