Площадь сферы

Шар

1710. В.П. Минорский. Площадь сферы [6:37]

Площадь сферы — число, характеризующее сферу (поверхность шара) в единицах измерения площади.

Обозначения[править]

Введём обозначения:

R — радиус шара;

D — диаметр шара;

S_сф — площадь сферы.

S_{\text{сф}}=4\pi R^{2}\Leftrightarrow S_{\text{сф}}={\frac {3}{R}}V_{\text{сф}},\ V_{\text{шар}}={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\Leftrightarrow S_{\text{сф}}=\pi D^{2},\ D=2R

S_{\text{сф}}=2\pi \int \limits _{-R}^{R}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}{\sqrt {1+\left({\sqrt {R^{2}-x^{2}}}^{{\text{ }}'}\right)^{2}}}dx=2\pi \int \limits _{-R}^{R}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}{\sqrt {1+\left({\frac {-x}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}\right)^{2}}}dx=

=2\pi \int \limits _{-R}^{R}Rdx=4\pi R\int \limits _{0}^{R}1dx=\left.4\pi Rx\right|_{0}^{R}=4\pi R^{2}\Rightarrow S_{\text{сф}}=4\pi R^{2}