Площадь сферы

Материал из Циклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Шар
1710. В.П. Минорский. Площадь сферы [6:37]

Площадь сферы — число, характеризующее сферу (поверхность шара) в единицах измерения площади.

Обозначения[править]

Введём обозначения:

R — радиус шара;

D — диаметр шара;

Sсф — площадь сферы.

Формула[править]

[math]\displaystyle{ S_\text{сф}=4\pi R^2 \Leftrightarrow S_\text{сф}=\frac{3}{R}V_\text{сф}, \ V_\text{шар}=\frac{4}{3}\pi R^3 \Leftrightarrow S_\text{сф}=\pi D^2, \ D=2R }[/math]

Вывод формулы[править]

По формуле для фигуры вращения:

[math]\displaystyle{ S_\text{сф}=2\pi\int\limits_{-R}^R\sqrt{R^2-x^2}\sqrt{1+\left(\sqrt{R^2-x^2}^{\text{ }'}\right)^2}dx=2\pi\int\limits_{-R}^R\sqrt{R^2-x^2}\sqrt{1+\left(\frac{-x}{\sqrt{R^2-x^2}}\right)^2}dx= }[/math]
[math]\displaystyle{ =2\pi\int\limits_{-R}^R Rdx = 4\pi R\int\limits_0^R 1dx=\left.4\pi Rx\right|_0^R=4\pi R^2 \Rightarrow S_\text{сф} = 4\pi R^2 }[/math]

Другие формулы[править]

Литература[править]

  • Бронштейн М. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике — М., 1956, стр.177.