Площадь сферы
Площадь сферы — число, характеризующее сферу (поверхность шара) в единицах измерения площади.
Обозначения[править]
Введём обозначения:
R — радиус шара;
D — диаметр шара;
Sсф — площадь сферы.
Формула[править]
- [math]\displaystyle{ S_\text{сф}=4\pi R^2 \Leftrightarrow S_\text{сф}=\frac{3}{R}V_\text{сф}, \ V_\text{шар}=\frac{4}{3}\pi R^3 \Leftrightarrow S_\text{сф}=\pi D^2, \ D=2R }[/math]
Вывод формулы[править]
По формуле для фигуры вращения:
- [math]\displaystyle{ S_\text{сф}=2\pi\int\limits_{-R}^R\sqrt{R^2-x^2}\sqrt{1+\left(\sqrt{R^2-x^2}^{\text{ }'}\right)^2}dx=2\pi\int\limits_{-R}^R\sqrt{R^2-x^2}\sqrt{1+\left(\frac{-x}{\sqrt{R^2-x^2}}\right)^2}dx= }[/math]
- [math]\displaystyle{ =2\pi\int\limits_{-R}^R Rdx = 4\pi R\int\limits_0^R 1dx=\left.4\pi Rx\right|_0^R=4\pi R^2 \Rightarrow S_\text{сф} = 4\pi R^2 }[/math]
Другие формулы[править]
- площадь поверхности фигуры вращения;
- площадь сферы;
- площадь поверхности цилиндра;
- площадь поверхности конуса;
- площадь поверхности усечённого цилиндра;
- площадь поверхности усечённого конуса;
- площадь поверхности шарового сегмента;
- площадь поверхности шарового сектора;
- площадь поверхности шарового слоя;
- площадь поверхности шарового клина;
- площадь поверхности цилиндрической трубы;
- площадь поверхности цилиндрического копыта;
- площадь поверхности конусного копыта;
- площадь поверхности шаровой бочки;
- площадь поверхности круговой бочки;
- площадь тора;
- площадь кокона;
- площадь поверхности купола;
- площадь сфероида.
Литература[править]
- Бронштейн М. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике — М., 1956, стр.177.