Координатизация

Координатизация — логическая переработка некоей системы понятий или структуры данных, ведущая к освоению средствами количественной математики: числами, порядками, пространствами и, в идеальном итоге, — алгебраически замкнутыми системами отношений меры.

Является главным, если не единственным, путём количественной математизации научного знания.

Историческое развитие координатизации

Идея координатизации, — к тому времени, вообще, математизации, — восходит к Галилею, который сформулировал научную программу «Измерить всё, что измеримо». Метод координат в явном виде впервые изложили Пьер де Ферма и Рене Декарт в XVII веке, состоя между собою в научной переписке. Верное применение системы координат дозволяет рассуждения в рамках эвклидовой геометрии выражать через средства классической алгебры. Более того, дальнейшее развитие символической алгебры (абстрактной алгебры) с избытком покрывает потребности, навлекаемые исследованием иных геометрий.

Игорь Шафаревич считал ключевой характеристикой алгебры именно координатизацию: как ту роль и задачу, которой алгебра служит в общем строении математики. Из древнейших примеров Шафаревич упоминает счёт, как образец оперирования, и пересчёт, как образец координатизации. Счёт и пересчёт, в частности, позволяют делать заключения о числе предметов, не перебирая их.

Расширение понятия числа позволяет знакомые арифметические операции применять для более свободных, обширных координатных «пространств»: — множеств — целых и рациональных чисел. Попытка древними греками измерить — точно выразить числом — длину диагонали квадрата с единичной длиной сторон, — осветила необходимость существования иррациональных мер величины.

Измерения естественным образом приводят к соответствию между точками континуальной прямой и вещественными числами, которыми в классической физике выражаются фундаментальные величины: длительность по пространству, длительность по времени и масса. На практике, однако, измерение непрерывно меняющейся физической величины всегда делается с конечной точностью, а иррациональное число не может служить значением (данным) такого измерения. Попытка строгого рассмотрения, в свою очередь, проблемы измерений на практике — сразу приводит к понятию о вещественночисленной мере вероятности, которой оценивается таинственный «шанс».

Портрет Галилео Галилея (1635) кисти Юстуса Сустерманса

Развитие физики с необходимостью измерять физические величины привело в XVII веке итальянского учёного Галилео Галилея к выдвижению амбициозной программы по внедрению координатизации:

Тот, кто хочет решать вопросы естественных наук без помощи математики, ставит неразрешимую задачу. Следует измерять то, что измеримо, и делать измеримым то, что таковым не является.

Этот принцип координатизации надолго стал магистральным направлением математизации научного знания, которая, в свою очередь, во многом предопределила успех дальнейшего развития науки и технологии.

Количественная математизация знания основана на понятиях величины и меры величины. Величина — свойство, благодаря которому объект можно охарактеризовать в отношениях увеличения и уменьшения. Мера величины — функция, сопоставляющая каждое состояние величины́ — некоторому числу (обычно вещественному) путём сравнения с эталоном-единицей. Классическими примерами измеримых величин являются расстояние и время. При этом равным величинам должны соответствовать равные числа, а большей величине — большее число.

Количественная математизация определяется диалектическим взаимодействием математической теории объекта с процедурами измерения величин. Прогресс в первом ведёт к прогрессу во втором, и наоборот. Часто первым этапом количественной математизации может стать введение условной или неадекватной шкалы, позволяющей проводить лишь какое-нибудь — пусть грубое или неточное — измерение.

Введение системы координат на плоскости и в пространстве привело к появлению аналитической геометрии. Координаты позволяют представлять точки плоскости парами вещественных чисел, а точки эвклидова пространства задавать тройками чисел, означающих величи́ны отступов от точки отсчёта по каждому из трёх направлений-прямых, перпендикулярных между собой. Успех аналитической геометрии состоит в том, что она координатизирует также и кривые, и поверхности, и прочие фигуры классической геометрии, да и не только. Например, в рамках этого подхода кривая задаётся на плоскости уравнением F(x, y) = 0; в частности, прямая задаётся многочленом первой степени F = ax + by + c, который описывается тремя коэффициентами a, b и c. Конические сечения задаются многочленами второй степени, которые также описываются набором своих коэффициентов… Постепенно всё более обширные классы геометрических объектов были описаны, как уравнения с решениями в координатном пространстве.

Для выражения «не только действительных» корней уравнений алгебраических функций через число был сделан переход от вещественных чисел к комплексным, что дало новые возможности для развития анализа, включая изучение эллиптических функций и введение римановых поверхностей.

Расширение понятия координатизации

На первый взгляд, программа Галилея сводится к созданию всё более изощрённых методов измерения: математических средств вроде систем координат, физических приборов для сбора научных данных, а также языковых средств — начиная с простых арифметических выражений — требуемых для записи или кодирования («цифрования») измеряемых значений. Когда известных чисел оказывается недостаточно, идёт очередное расширение понятия числа́ по схеме:

0 или не-0 (ничто против нечто) → <1 или ≥1 (неполное против надпорогового) → 0 или 1 tertium non datur (строго одно из двух: булево исчисление) → 1 или 1+…+1 (уникальное против повторённого) → натуральные числа → целые → рациональные → вещественные → комплексные числа →…

Чисел, как строго однозначной концепции — оказывается недостаточно, и появляются не укладывающиеся в эту последовательность гиперкомплексные числа (исторически первый пример — кватернионы), конечные поля, p-адические числа, гипервещественные числа, сюрреальные числа… Рассмотрение бесконечно малых преобразований привело к изучению дифференциальных операторов с операцией «скобка Пуассона» со свойствами, кардинально отличными от ранее известных операций.

По Шафаревичу, принцип координатизации можно сохранить, допуская разнообразность множества числоподобных объектов, выступающих в качестве координат, и что такие объекты не беднее, чем мир физических и математических объектов, который подлежит координатизации. Эти числоподобные объекты должны удовлетворять следующим требованиям:

• Индивидуализируемость. Например, хотя все точки прямой благодаря её однородности обладают одинаковыми свойствами, все представляющие эти точки числа индивидуальны и различны: 5, 11/36, ${\sqrt {3}}$, e, …
• Абстрактность — необходима, чтобы числоподобные объекты отражали широкий круг явлений.
• Над ними можно производить операции, отражающие фундаментальные черты ситуаций, в которых применяются числоподобные объекты. Примерами таких операций являются сложение, умножение, сравнение по величине, интегрирование, дифференцирование, взятие скобки Пуассона и многие иные.

Итак, любые объекты, ставшие предметом математического исследования, могут быть при вышеописанном подходе координатизированы, но «обычных» чисел — при всей их бесконечности — оказывается недостаточно. Процесс построения и исследования возникающих числоподобных объектов («величин») и составляет место алгебры в математике. Любой раздел алгебры проходит при этом два этапа в своём развитии. Сначала рождается новый тип алгебраических объектов, решающий некоторую проблему координатизации. Затем происходит становление и развитие теории этого нового класса объектов.

Как пример координатизации для появившейся в XX веке квантовой механики, Шафаревич приводит словарь квантовой механики, ставящий в соответствие физическим понятиям математические объекты:

1. состояние физической системы → прямая φ в бесконечномерном гильбертовом пространстве
2. скалярная физическая величина → самосопряжённый оператор
3. одновременно измеримые величины → коммутирующие операторы
4. величина, имеющая точное значение λ в состоянии φ → оператор с собственным вектором φ, у которого собственное значение λ
5. множество значений величины, получаемых путем измерения → спектр оператора
6. вероятность перехода из состояния φ в состояние ψ → |(φ, ψ)|, где |φ| = |ψ| = 1.

Литература

• Тетерин Г. Н. О координатизации — термине и понятии // Вестник СГУГиТ (Сибирского государственного университета геосистем и технологий). Выпуск № 4 (20), 2012. (про другую координатизацию)
• Шафаревич И. Р. Алгебра-1. — М., 1986.

Числовые системы ↑ [+]
Счётные множества	Натуральные числа ($\scriptstyle \mathbb {N}$) • Целые ($\scriptstyle \mathbb {Z}$) • Рациональные ($\scriptstyle \mathbb {Q}$) • Алгебраические ($\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$) • Периоды • Вычислимые
Действительные числа и их расширения	Действительные (вещественные) ($\scriptstyle \mathbb {R}$) • Комплексные ($\scriptstyle \mathbb {C}$) • Кватернионы ($\scriptstyle \mathbb {H}$) • Числа Кэли (октавы, октонионы) ($\scriptstyle \mathbb {O}$) • Седенионы ($\scriptstyle \mathbb {S}$) • Альтернионы • Дуальные • Гиперкомплексные • Супердействительные • Гипервещественные
Прочие числовые системы	Кардинальные числа • Порядковые (трансфинитные, ординалы) • p-адические • Сверхнатуральные • Сюрреальные
Иные классы чисел	Двойные • Иррациональные • Трансцендентные • Числовой луч • Положительные числа • Простые числа • Бикватернионы • Координатизация • Расширение понятия числа