Координатизация
Координатизация — логическая переработка некоей системы понятий или структуры данных, ведущая к освоению средствами количественной математики: числами, порядками, пространствами и, в идеальном итоге, — алгебраически замкнутыми системами отношений меры. Является главным, если не единственным, путём количественной математизации научного знания.
[править] Историческое развитие координатизации
Идея координатизации, — к тому времени, вообще, математизации, — восходит к Галилею, который сформулировал научную программу «Измерить всё, что измеримо». Метод координат в явном виде впервые изложили Пьер де Ферма и Рене Декарт в XVII веке, состоя между собою в научной переписке. Верное применение системы координат дозволяет рассуждения в рамках эвклидовой геометрии выражать через средства классической алгебры. Более того, дальнейшее развитие символической алгебры (абстрактной алгебры) с избытком покрывает потребности, навлекаемые исследованием иных геометрий.
Игорь Шафаревич считал ключевой характеристикой алгебры именно координатизацию: как ту роль и задачу, которой алгебра служит в общем строении математики. Из древнейших примеров Шафаревич упоминает счёт, как образец оперирования, и пересчёт, как образец координатизации. Счёт и пересчёт, в частности, позволяют делать заключения о числе предметов, не перебирая их.
Расширение понятия числа позволяет знакомые арифметические операции применять для более свободных, обширных координатных «пространств»: — множеств — целых и рациональных чисел. Попытка древними греками измерить — точно выразить числом — длину диагонали квадрата с единичной длиной сторон, — осветила необходимость существования иррациональных мер величины.
Измерения естественным образом приводят к соответствию между точками континуальной прямой и вещественными числами, которыми в классической физике выражаются фундаментальные величины: длительность по пространству, длительность по времени и масса. На практике, однако, измерение непрерывно меняющейся физической величины всегда делается с конечной точностью, а иррациональное число не может служить значением (данным) такого измерения.
Развитие физики с необходимостью измерять физические величины привело в XVII веке итальянского учёного Галилео Галилея к выдвижению амбициозной программы по внедрению координатизации:
Тот, кто хочет решать вопросы естественных наук без помощи математики, ставит неразрешимую задачу. Следует измерять то, что измеримо, и делать измеримым то, что таковым не является.
Этот принцип координатизации надолго стал магистральным направлением математизации научного знания, которая, в свою очередь, во многом предопределила успех дальнейшего развития науки и технологии.
Количественная математизация знания основана на понятиях величины и меры величины. Величина — свойство, благодаря которому объект можно охарактеризовать в отношениях увеличения и уменьшения. Мера величины — функция, сопоставляющая каждое состояние величины́ — некоторому числу (обычно вещественному) путём сравнения с эталоном-единицей. Классическими примерами измеримых величин являются расстояние и время. При этом равным величинам должны соответствовать равные числа, а большей величине — большее число.
Количественная математизация определяется диалектическим взаимодействием математической теории объекта с процедурами измерения величин. Прогресс в первом ведёт к прогрессу во втором, и наоборот. Часто первым этапом количественной математизации может стать введение условной или неадекватной шкалы, позволяющей проводить лишь какое-нибудь — пусть грубое или неточное — измерение.
Введение системы координат на плоскости и в пространстве привело к появлению аналитической геометрии. Координаты позволяют представлять точки плоскости парами вещественных чисел, а точки эвклидова пространства задавать тройками чисел, означающих величи́ны отступов от точки отсчёта по каждому из трёх направлений-прямых, перпендикулярных между собой. Успех аналитической геометрии состоит в том, что она координатизирует также и кривые, и поверхности, и прочие фигуры классической геометрии, да и не только. Например, в рамках этого подхода кривая задаётся на плоскости уравнением F(x, y) = 0; в частности, прямая задаётся многочленом первой степени F = ax + by + c, который описывается тремя коэффициентами a, b и c. Конические сечения задаются многочленами второй степени, которые также описываются набором своих коэффициентов… Постепенно всё более обширные классы геометрических объектов были описаны, как уравнения с решениями в координатном пространстве.
Для выражения «не только действительных» корней уравнений алгебраических функций через число был сделан переход от вещественных чисел к комплексным, что дало новые возможности для развития анализа, включая изучение эллиптических функций и введение римановых поверхностей.
[править] Расширение понятия координатизации
На первый взгляд, программа Галилея сводится к созданию всё более изощрённых методов измерения: математических средств вроде систем координат, физических приборов для сбора научных данных, а также языковых средств — начиная с простых арифметических выражений — требуемых для записи или кодирования («цифрования») измеряемых значений. Когда известных чисел оказывается недостаточно, идёт очередное расширение понятия числа́ по схеме:
- 0 или не-0 (ничто против нечто) → <1 или 1 (неполное против надпорогового) → 1 или 1+…+1 (уникальное против повторного) → натуральные числа → целые → рациональные → вещественные → комплексные числа →
Тем не менее, чисел оказывается недостаточно, и появляются не укладывающиеся в эту последовательность векторы, матрицы, гиперкомплексные числа (исторически первый пример — кватернионы), конечные поля, p-адические числа. Рассмотрение бесконечно малых преобразований привело к изучению дифференциальных операторов с операцией «скобка Пуассона» со свойствами, кардинально отличными от ранее известных операций.
По Шафаревичу, принцип координатизации можно сохранить, допуская разнообразность множества числоподобных объектов, выступающих в качестве координат, и что такие объекты не беднее, чем мир физических и математических объектов, который подлежит координатизации. Эти числоподобные объекты должны удовлетворять следующим требованиям:
- Индивидуализируемость. Например, хотя все точки прямой благодаря её однородности обладают одинаковыми свойствами, все представляющие эти точки числа индивидуальны и различны: 5, 11/36, [math]\sqrt {3}[/math], e, …
- Абстрактность — необходима, чтобы числоподобные объекты отражали широкий круг явлений.
- Над ними можно производить операции, отражающие фундаментальные черты ситуаций, в которых применяются числоподобные объекты. Примерами таких операций являются сложение, умножение, сравнение по величине, интегрирование, дифференцирование, взятие скобки Пуассона и многие иные.
Итак, любые объекты, ставшие предметом математического исследования, могут быть при вышеописанном подходе координатизированы, но «обычных» чисел — при всей их бесконечности — оказывается недостаточно. Процесс построения и исследования возникающих числоподобных объектов («величин») и составляет место алгебры в математике. Любой раздел алгебры проходит при этом два этапа в своём развитии. Сначала рождается новый тип алгебраических объектов, решающий некоторую проблему координатизации. Затем происходит становление и развитие теории этого нового класса объектов.
Как пример координатизации для появившейся в XX веке квантовой механики, Шафаревич приводит словарь квантовой механики, ставящий в соответствие физическим понятиям математические объекты:
- состояние физической системы → прямая φ в бесконечномерном гильбертовом пространстве
- скалярная физическая величина → самосопряжённый оператор
- одновременно измеримые величины → коммутирующие операторы
- величина, имеющая точное значение λ в состоянии φ → оператор с собственным вектором φ, у которого собственное значение λ
- множество значений величины, получаемых путем измерения → спектр оператора
- вероятность перехода из состояния φ в состояние ψ → |(φ, ψ)|, где |φ| = |ψ| = 1.
[править] Литература
- Тетерин Г. Н. О координатизации — термине и понятии // Вестник СГУГиТ (Сибирского государственного университета геосистем и технологий). Выпуск № 4 (20), 2012. (про другую координатизацию)
- Шафаревич И. Р. Алгебра-1. — М., 1986.
![]() [+]
Числовые системы
|
|
---|---|
множества |
Натуральные числа ([math]\scriptstyle\mathbb{N}[/math]) • Целые ([math]\scriptstyle\mathbb{Z}[/math]) • Рациональные ([math]\scriptstyle\mathbb{Q}[/math]) • Алгебраические ([math]\scriptstyle\overline{\mathbb{Q}}[/math]) • Периоды • Вычислимые |
и их расширения |
Действительные (вещественные) ([math]\scriptstyle\mathbb{R}[/math]) • Комплексные ([math]\scriptstyle\mathbb{C}[/math]) • Кватернионы ([math]\scriptstyle\mathbb{H}[/math]) • Числа Кэли (октавы, октонионы) ([math]\scriptstyle\mathbb{O}[/math]) • Седенионы ([math]\scriptstyle\mathbb{S}[/math]) • Альтернионы • Дуальные • Гиперкомплексные • Супердействительные • Гипервещественные • Сюрреальные |
числовые системы |
Кардинальные числа • Порядковые числа (трансфинитные, ординал) • p-адические • Супернатуральные числа |
|
Двойные числа • Иррациональные числа • Трансцендентные числа • Числовой луч • Положительные числа • Бикватернионы • Координатизация • Расширение понятия числа |