Алгебра

Истоки алгебры // KhanAcademyRussian [5:48]

Алгебра — направление теорий математики по изучению операций над формальными объектами, так или иначе обобщающими множество чисел с арифметическим сложением и умножением.

В классической математике алгебра исторически противопоставлялась геометрии, но с возрастающей степенью дополняла ту в ходе основоположения классической механики и ранней теории вероятностей. Изыскания алгебраического толка дают приоритет символьной, логической и потому зачастую дискретной интуиции, тогда как геометрия аппелирует к интуициям о пространстве и плавности упругих форм. Историческое развитие ведёт к синтезу алгебры и геометрии, в итоге завершённому в алгебраической геометрии. Алгебра зародилась при решении уравнений, а её истоки и название берут начало в математических трудах на арабском языке. Впоследствии той или иной алгеброй стали называть любое математическое построение из операций над объектами: ассоциативная алгебра, алгебра логики Буля, внешняя алгебра, алгебра множеств, алгебра кортежей, алгебра событий в теории вероятностей, алгебра процессов… Алгеброй (над полем) называется математический объект векторное пространство с билинейным произведением: в свою очередь, такие семейства объектов изучаются в конкретной дисциплине математики: линейная алгебра. В такой же манере термин алгебра помечает иные дисциплины, порою с совершенно отличной аксиоматикой: абстрактная алгебра, алгебра алгоритмов, алгебраическая логика, реляционная алгебра в технологии баз данных, коммутативная алгебра, компьютерная алгебра…

В наиобщем современном смысле, алгебра — направление формальной науки, где допускается произвольная широта области исследования, а значит, — предельное абстрагирование специфики отдельных объектов и отраслей логики, математики, информатики и лингвистики. Образцы таких наиболее общих направлений алгебры разработаны к концу 20 века в теориях типов, в теориях категорий и аллегорий, в универсальной алгебре и в математической лингвистике.

Другое определение: алгебра — раздел математики, занимающийся символами (в смысле — знаками) и правилами обращения с этими символами^[1].

История алгебры[править]

Арифметика изучается с самых древних сохранившихся текстов, относимых к истории математики. В нынешних справочниках признается, что на развитие алгебры оказал влияние труд древнегреческого математика Диофанта Александрийского «Арифметика» (3 век с рождества Христова).

В труде арабского математика Мухаммеда аль-Хорезми под названием «Альджебр аль-мукабала» (9 век нашей эры), рассмотрены методы решения задач, сводящихся в современной терминологии к алгебраическим уравнениям первой и второй степеней. От названия этой работы и произошел термин «алгебра».

В 15-17 веках в работах европейских математиков появились применяемые в настоящее время обозначения алгебраических операций («+», «-»), скобки, знаки радикалов, обозначение степеней числа. Франсуа Виет в конце 16 века ввел буквенные обозначения для переменных.

В 17-18 веках под алгеброй понимается наука о вычислениях с использованием переменных, записанных с помощью букв, в частности решение алгебраических уравнений. В настоящее время в школьном образовании подобные буквенные вычисления называются элементарной алгеброй.

Задача о нахождении корней общего алгебраического уравнения n-й степени

a₀xⁿ + a₁xⁿ⁻¹ + … + a_n−1x + a_n = 0

с помощью элементарных арифметических операций и операции извлечения корней становится центральной задачей алгебры.

Итальянскими математиками в 15 веке были найдены формулы для решения общего уравнения 3-й и 4-й степени, однако для более высоких степеней задача до 19 века не поддавалась решению.

В 1824 году норвежский математик Нильс Абель доказал, что уравнения выше 4-й степени в общем случае в радикалах не разрешимы. В 1830 году французский математик Эварист Галуа в рамках созданной им теории Галуа вывел общий критерий разрешимости алгебраического уравнения в радикалах.

С середины 19 века в центре алгебраических исследований оказывается изучение произвольных алгебраических операций. Так расширялось понятия числа, появилось понятие алгебра логики, были исследованы кватернионы, создано матричное исчисление, получила развитие теория групп.

Алгебра как общая теория произвольных алгебраических операций стала восприниматься с начала 20 века с появлением работ Давида Гильберта, Э. Штейница, Э. Артина, Эмми Нётер. Это понимание было закреплено в вышедшей в 1930 году монографии Б. Л. ван дер Вардена «Современная алгебра», остающейся до настоящего времени востребованным учебником по алгебре.

Предмет алгебры[править]

Предметом изучения современной алгебры являются множества с заданными на них алгебраическими операциями. При этом если между такими множествами можно установить изоморфизм (взаимно-однозначное соответствие, сохраняющее операции), то множества считаются одинаковыми, и поэтому природа множеств безразлична. Следовательно, объектом изучения алгебры являются сами алгебраические операции.

Примером изучаемого в рамках алгебры множества с операцией является группа: множество с одной ассоциативной бинарной операцией, содержащее единицу и для каждого элемента — обратный элемент. Понятие группы появилось в теории Галуа в 19 веке, в которой группы сопоставлялись уравнениям, а условием разрешимости уравнения в радикалах оказалась разрешимость соответствующей группы. В дальнейшем были изучены такие обобщения групп, как полугруппы, квазигруппы и лупы.

В рамках алгебры изучаются такие алгебраические множества с двумя бинарными операциями как кольца и поля. В этих структурах одна из операций называется сложением (она коммутативна и каждый элемент имеет обратный), а другая операция — умножением (обычно, она предполагается ассоциативной, хотя могут изучаться и неассоциативные кольца).

В рамках линейной алгебры изучается линейное пространство с операцией сложения, а также с умножением на элементы основного поля (скаляры). Модуль — обобщение линейного пространства, в нем вместо поля скаляров элементы модуля умножаются на элементы кольца, которое берется вместо основного поля.

Внесение дополнительных структур, согласованных с алгебраическими операциями, привело к появлению новых разделов алгебры, пограничных с другими разделами математики. Это топологическая алгебра, включая теорию топологических групп и групп Ли, теория нормированных колец, дифференциальная алгебра. Как самостоятельную дисциплину можно рассматривать гомологическую алгебру.

Роль алгебры в математике[править]

Математик Игорь Шафаревич в своей книге «Алгебра — 1» вслед за математиком и философом Германом Вейлем видит роль алгебры в математике в том, что она занимается координатизацией математических объектов.

Вместе с фундаментальной ролью внутри математики алгебра применяется в прикладных областях. Теория представлений групп используется в физике, дискретные группы применяются в кристаллографии. Алгебраические методы используются в криптографии, теории кодирования, математической экономике. Абстрактная алгебра охватывает возможности вычислений.