Теория групп

Все повороты кубика Рубика составляют группу.

Теория групп — раздел математики, изучающий свойства групп. Группа — это алгебраическая структура с двухместной операцией, и для этой операции выполняются следующие свойства: ассоциативность, существование нейтрального элемента, существование обратного элемента.

Понятие группы является обобщением понятий группа симметрий, группа перестановок.

Часто группа может представлять собой множество всех преобразований — симметрий — некоторой структуры, поскольку результатом последовательного применения двух преобразований (композицией) будет снова некоторое преобразование. Возможны обратные преобразования, а нейтральным элементом считается отсутствие преобразований.

Например, у кубика Рубика множество всех трансформаций (что возможны за счет поворота граней) является группой, поскольку две последовательные трансформации образуют новую трансформацию, для каждой трансформации существует обратная, нейтральный элемент — отсутствие трансформаций.

Особую полезность абстрактное понятие группы получает благодаря свойству гомоморфизма, то есть такой связи между различными группами, при которой групповая операция сохраняется. Гомоморфные группы различной природы имеют одинаковые свойства, и изучение одной группы можно заменить изучением другой. Например, группа поворотов трехмерного тела гомоморфна группе специальных ортогональных матриц 3x3, групповой операцией которой является умножение матриц (см. Матрицы поворота). Благодаря гомоморфизму теория групп нашла широкое применение в различных областях математики и физики, поскольку позволяет выделить общие черты в объектах очень разной природы.

История

Теория групп сформировалась в XIX веке. Она имеет три исторических корня: теория алгебраических уравнений, теория чисел и геометрия.

Основной задачей алгебры до XIX века было решение алгебраических уравнений. В эпоху Возрождения были найдены формулы для решения уравнений третьей и четвертой степеней. Были приложены значительные усилия для поиска формул для уравнений пятой и высших степеней, но более двух столетий поисков не дали желаемого результата. В 1770 году Жозеф-Луи Лагранж и Александр Вандермонд заметили, что решение уравнения сводится к изучению перестановок из его корней. С 1799 года Паоло Руффини в ряде работ, посвященных этой теме, описал группу перестановок из пяти элементов. В 1824 году Нильс Абель доказал теорему, что для уравнений пятой и высших степеней не существует общей формулы, выражающей корни через коэффициенты в радикалах (теорема Абеля-Руффини). Общее решение проблемы разрешимости алгебраических уравнений получил Эварист Галуа в 1830 году. Именно Галуа ввел в своих работах термин «группа» и начал использовать свойства групп.

В геометрии в XIX веке вызвали интерес геометрические преобразования. Их изучал, в частности, Август Мебиус. Детальную классификацию геометрических преобразований провел в 1854 году Артур Кэли. Он пользовался термином «группа», использовал таблицы умножения (таблицы Кэли) и доказал, что конечную группу можно представить перестановками. В эрлангенской программе Феликса Клейна (1872) изучение геометрии было связано с изучением соответствующих групп преобразований. Например, если заданы фигуры на плоскости, то группой движений выясняется их равенство.

Третий исторический путь теории групп лежал через теорию чисел. Значительный вклад в становление группового подхода к теории сделали Леонард Эйлер, изучавший остаток от деления степеней, Карл Фридрих Гаусс, — который интересовался поиском корней уравнения хⁿ−1=0 для построения правильных многоугольников, — и Леопольд Кронекер, работавший над изучением конечных абелевых групп, применяя язык теории.

В начале XX века теории групп занимались Софус Ли, Давид Гильберт, Эмми Нетер, Эмиль Артин, Людвиг Силов.

Применение

Теория групп имеет широкую область применения в математике, физике, химии и в прикладных областях, например, в компьютерной графике, томографии, криптографии.

Среди разделов математики, в которых применяется теория групп: геометрия и топология, теория чисел, теория дифференциальных уравнений и другие.

В физике важную роль играет понятие симметрии. Совокупность операций симметрии составляет группу. На основе изучения этой группы можно делать важные выводы о свойствах физических объектов. Например, теорема Нетер устанавливает тот факт, что каждой симметрии соответствует определенный закон сохранения. Так, закон сохранения энергии является результатом однородности времени, закон сохранения импульса вытекает из однородности пространства, а закон сохранения момента импульса из изотропности пространства. Другие физические симметрии не столь очевидны. В квантовой теории поля существует понятие калибровочных преобразований, соответствующих симметриям мира элементарных частиц. Совокупность фундаментальных частиц по представлениям гомоморфна группам матриц из семьи SU(n).

В кристаллографии и химии важное значение имеют операции симметрии, которые описываются точечными и пространственными группами. Изучение этих групп важно для классификации и определения свойств минералов и молекул. Группы симметрии определяют, например, структуру оптических спектров, спектров рамановского рассеяния и тому подобное.

Литература

• Хейне В. Теория групп в квантовой механике. — М.: ИЛ, 1963. — 522 с.
• Холл М. Теория групп. — М.: ИЛ, 1962. — 468 с.