Произведение матриц

Произведение двух матриц – это матрица с элементами, равными сумме произведений соответствующих элементов строк первой матрицы-сомножителя и элементов столбцов второй матрицы-сомножителя.

Обозначения

$m$ – число строк первой матрицы-сомножителя и матрицы-произведения;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n } – число столбцов первой матрицы-сомножителя и число строк второй матрицы-сомножителя;

$k$ – число столбцов второй матрицы-сомножителя и матрицы-произведения;

$m{\text{×}}n$ – размерность первой матрицы-сомножителя;

$n{\text{×}}k$ – размерность второй матрицы-сомножителя;

$m{\text{×}}k$ – размерность матрицы-произведения;

$a_{ij}$ – элемент матрицы $A_{m{\text{×}}n}$, лежащий на пересечении $i$-ой строки и $j$-ого столбца матрицы;

$b_{jt}$ – элемент матрицы $B_{n{\text{×}}k}$, лежащий на пересечении $j$-ой строки и $t$-ого столбца матрицы;

$c_{it}$ – элемент матрицы $C_{m{\text{×}}k}$, лежащий на пересечении $i$-ой строки и $t$-ого столбца матрицы;

– матрица $A_{m{\text{×}}n}$ – первая матрица-сомножитель;

– матрица $B_{n{\text{×}}k}$ – вторая матрица-сомножитель;

– матрица $C_{m{\text{×}}k}$ – матрица-произведение.

Формула

• Заметим, что умножать можно только матрицы у которых число столбцов первой матрицы-сомножителя совпадает с числом строк второй матрицы-сомножителя.
• Умножение матрицы $(A)$ на единичную $(E)$ даёт матрицу-сомножитель $(AE=A)$.
• Умножение единичной матрицы $(E)$ на матрицу Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (B)} даёт матрицу-сомножитель $(EB=B)$.

Примеры:

m=2, n=2, k=2

m=2, n=2, k=3

m=2, n=3, k=2

m=2, n=3, k=3

m=3, n=2, k=2

m=3, n=2, k=3

m=3, n=3, k=2

m=3, n=3, k=3

Другие операции:

1. сложение матриц;
2. вычитание матриц;
3. умножение матрицы на число;
4. умножение матриц;
5. умножение клеточных матриц;
6. умножение треугольных матриц;
7. умножение элементов матриц;
8. извлечение корня из элементов матрицы;
9. деление матриц;
10. транспонирование матрицы;
11. обращение матрицы;
12. обращение клеточной матрицы;
13. обращение треугольной матрицы;
14. обращение матрицы методом окаймления;
15. обращение треугольной матрицы методом окаймления;
16. возведение в степень матрицы;
17. разложение матрицы на треугольные;
18. разложение симметричной матрицы на треугольные;
19. нахождение определителя;
20. нахождение минора;
21. нахождение алгебраического дополнения.

Ссылки

• Участник:Logic-samara