Разложение симметричной матрицы на треугольные

Разложение симметрической матрицы на треугольные – это получение двух треугольных матриц (нижнетреугольной и верхнетреугольной), произведение которых равно исходной симметричной матрице.

Суть разложения состоит в представлении симметричной матрицы в виде произведения двух треугольных матриц, транспонированных между собой.

Обозначения

$n$ – число строк и столбцов матриц;

$n{\text{×}}n$ – размерность матриц;

$a_{ij}$ – элемент матрицы $A_{n{\text{×}}n}$;

$b_{ij}$ – элемент матрицы $B_{n{\text{×}}n}$;

$A_{n{\text{×}}n}$ – симметричная матрица для разложения;

$B_{n{\text{×}}n}$ – нижнетреугольная матрица – первая матрица-сомножитель разложения;

$B_{n{\text{×}}n}^{T}$ – верхнетреугольная матрица – транспонированная матрица $B_{n{\text{×}}n}$ – вторая матрица-сомножитель разложения.

Система уравнений

Формулы разложения

• Приведены основные формулы для вычисления элементов треугольных матриц и последовательность их расчёта.

Другие операции:

1. сложение матриц;
2. вычитание матриц;
3. умножение матрицы на число;
4. умножение матриц;
5. умножение клеточных матриц;
6. умножение треугольных матриц;
7. умножение элементов матриц;
8. извлечение корня из элементов матрицы;
9. деление матриц;
10. транспонирование матрицы;
11. обращение матрицы;
12. обращение клеточной матрицы;
13. обращение треугольной матрицы;
14. обращение матрицы методом окаймления;
15. обращение треугольной матрицы методом окаймления;
16. возведение в степень матрицы;
17. разложение матрицы на треугольные;
18. разложение симметричной матрицы на треугольные;
19. нахождение определителя;
20. нахождение минора;
21. нахождение алгебраического дополнения.

Литература

• Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. Уч.пос., изд.5, СПб.: Лань, 2006, стр.287-288, 672 с..

Ссылки

• Участник:Logic-samara