Разложение матрицы на треугольные

Разложение матрицы на треугольные – это получение двух треугольных матриц (нижнетреугольной и верхнетреугольной), произведение которых равно исходной (квадратной) матрице.

По теореме о представлении квадратной матрицы в виде произведения двух треугольных всякую квадратную матрицу, имеющую отличные от нуля главные диагональные миноры, можно представить в виде произведения двух треугольных матриц различных структур (нижней и верхней), причём это разложение будет единственным, если заранее зафиксировать диагональные элементы одной из треугольных матриц (например, положить их равными единице).

Зафиксируем диагональные элементы верхнетреугольной матрицы, положив их равными единице.

Обозначения

$n$ – число строк и столбцов матриц;

$n{\text{×}}n$ – размерность матриц;

$a_{ij}$ – элемент матрицы $A_{n{\text{×}}n}$;

$b_{jt}$ – элемент матрицы $B_{n{\text{×}}n}$;

$c_{it}$ – элемент матрицы $C_{n{\text{×}}n}$;

– квадратная матрица $A_{n{\text{×}}n}$ для разложения;

– нижнетреугольная матрица $B_{n{\text{×}}n}$ – первая матрица-сомножитель разложения;

– верхнетреугольная матрица $C_{n{\text{×}}n}$ – вторая матрица-сомножитель разложения;

Система уравнений

Формулы разложения

• Приведены основные формулы для вычисления элементов треугольных матриц и последовательность их расчёта.

Другие операции:

1. сложение матриц;
2. вычитание матриц;
3. умножение матрицы на число;
4. умножение матриц;
5. умножение клеточных матриц;
6. умножение треугольных матриц;
7. умножение элементов матриц;
8. извлечение корня из элементов матрицы;
9. деление матриц;
10. транспонирование матрицы;
11. обращение матрицы;
12. обращение клеточной матрицы;
13. обращение треугольной матрицы;
14. обращение матрицы методом окаймления;
15. возведение в степень матрицы;
16. разложение матрицы на треугольные;
17. нахождение определителя;
18. нахождение минора;
19. нахождение алгебраического дополнения.

Литература

• Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. Уч.пос., изд.5, СПб.: Лань, 2006, стр.261-262, 672 с..

Ссылки

• Участник:Logic-samara