Метод окаймления для треугольной матрицы

Метод окаймления для треугольной матрицы – это метод нахождения обратной треугольной матрицы.

Цель метода состоит в нахождении обратной матрицы с использованием элементов окаймления исходной матрицы.

Суть метода в вычислении элементов обратной матрицы через элементы обратной главной подматрицы и элементы окаймления исходной матрицы.

Возможно последовательное вычисление обратных матриц всех главных подматриц исходной матрицы.

Определения

Главная подматрица для матрицы размерности nxn это матрица размерности (n-1)x(n-1) из первых (n-1) строк и (n-1) столбцов.

Элементы окаймления исходной матрицы это элементы последнего столбца и последней строки матрицы.

Обратная треугольная матрица – квадратная треугольная матрица, которая при умножении на исходную треугольную матрицу и наоброт, при умножении на которую исходной, получается единичная матрица.

Обратная матрица неособенной треугольной матрицы есть также треугольная матрица того же типа и структуры.

Обозначения

n – порядок матрицы;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_{ij}} – элемент матрицы Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A_{n\text{×}n}} ;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b_{jt}} – элемент матрицы Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B_{n\text{×}n}} ;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A_{n\text{×}n}} – исходная треугольная матрица;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B_{n\text{×}n}} – обратная треугольная матрица;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A_{(n-1)\text{×}(n-1)}} – главная подматрица матрицы Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A_{n\text{×}n}} ;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B_{(n-1)\text{×}(n-1)}} – обратная матрица для матрицы Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A_{(n-1)\text{×}(n-1)}} .

Формулы:

Обратная нижнетреугольная матрица

• Последняя строка получается умножением строки окаймления на матрицу Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\frac{1}{a_{nn}}B_{(n-1)\text{×}(n-1)}} .

Обратная верхнетреугольная матрица

• Последний столбец получается умножением матрицы Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\frac{1}{a_{nn}}B_{(n-1)\text{×}(n-1)}} на столбец окаймления.

Следствие

Все главные подматрицы обратной треугольной матрицы являются обратными соответствующим главным треугольным подматрицам исходной треугольной матрицы.

Другие операции:

1. сложение матриц;
2. вычитание матриц;
3. умножение матрицы на число;
4. умножение матриц;
5. умножение клеточных матриц;
6. умножение треугольных матриц;
7. умножение элементов матриц;
8. извлечение корня из элементов матрицы;
9. деление матриц;
10. транспонирование матрицы;
11. обращение матрицы;
12. обращение клеточной матрицы;
13. обращение треугольной матрицы;
14. обращение матрицы методом окаймления;
15. обращение треугольной матрицы методом окаймления;
16. возведение в степень матрицы;
17. разложение матрицы на треугольные;
18. разложение симметричной матрицы на треугольные;
19. нахождение определителя;
20. нахождение минора;
21. нахождение алгебраического дополнения.

Ссылки

• Участник:Logic-samara