Метод окаймления для треугольной матрицы

Метод окаймления для треугольной матрицы – это метод нахождения обратной треугольной матрицы.

Цель метода состоит в нахождении обратной матрицы с использованием элементов окаймления исходной матрицы.

Суть метода в вычислении элементов обратной матрицы через элементы обратной главной подматрицы и элементы окаймления исходной матрицы.

Возможно последовательное вычисление обратных матриц всех главных подматриц исходной матрицы.

Определения

Главная подматрица для матрицы размерности nxn это матрица размерности (n-1)x(n-1) из первых (n-1) строк и (n-1) столбцов.

Элементы окаймления исходной матрицы это элементы последнего столбца и последней строки матрицы.

Обратная треугольная матрица – квадратная треугольная матрица, которая при умножении на исходную треугольную матрицу и наоброт, при умножении на которую исходной, получается единичная матрица.

Обратная матрица неособенной треугольной матрицы есть также треугольная матрица того же типа и структуры.

Обозначения

n – порядок матрицы;

$a_{ij}$ – элемент матрицы $A_{n{\text{×}}n}$;

$b_{jt}$ – элемент матрицы $B_{n{\text{×}}n}$;

$A_{n{\text{×}}n}$ – исходная треугольная матрица;

$B_{n{\text{×}}n}$ – обратная треугольная матрица;

$A_{(n-1){\text{×}}(n-1)}$ – главная подматрица матрицы $A_{n{\text{×}}n}$;

$B_{(n-1){\text{×}}(n-1)}$ – обратная матрица для матрицы $A_{(n-1){\text{×}}(n-1)}$.

Формулы:

Обратная нижнетреугольная матрица

• Последняя строка получается умножением строки окаймления на матрицу $-{\frac {1}{a_{nn}}}B_{(n-1){\text{×}}(n-1)}$.

Обратная верхнетреугольная матрица

• Последний столбец получается умножением матрицы $-{\frac {1}{a_{nn}}}B_{(n-1){\text{×}}(n-1)}$ на столбец окаймления.

Другие операции:

1. сложение матриц;
2. вычитание матриц;
3. умножение матрицы на число;
4. умножение матриц;
5. умножение клеточных матриц;
6. умножение треугольных матриц;
7. умножение элементов матриц;
8. извлечение корня из элементов матрицы;
9. деление матриц;
10. транспонирование матрицы;
11. обращение матрицы;
12. обращение клеточной матрицы;
13. обращение треугольной матрицы;
14. обращение матрицы методом окаймления;
15. обращение треугольной матрицы методом окаймления;
16. возведение в степень матрицы;
17. разложение матрицы на треугольные;
18. нахождение определителя;
19. нахождение минора;
20. нахождение алгебраического дополнения.

Ссылки

• Участник:Logic-samara