Кольцо (алгебра)

← другие значения

Кольца и поля. Математические структуры. Урок 82 // MathTutor

Кольцо — это такое непустое множество, в котором обязательно определены 2 операции: сложение — суммой элементов a и b будет элемент a + b, и умножение — произведением этих же элементов будет элемент ab.

Примером кольца является множество [math]\mathbb Z[/math] целых чисел вместе с обычными сложением и умножением. Это — коммутативное кольцо, то есть произведение любых двух его элементов не зависит от порядка: ab = ba.

Аксиомы кольца

Множество R с операциями сложения («+») и умножения («⋅») является кольцом, если и только если оно вместе с операциями удовлетворяет системе аксиом, которые называются аксиомами кольца:

1. Свойства сложения:
   1. [math]a+(b+c) = (a+b)+c[/math] (ассоциативная операция)
   2. [math]a+b = b+a[/math] (переместительный закон)
   3. Существует элемент [math]0\in R[/math] такой, что [math]0+a=a[/math] (нейтральный элемент)
   4. Для каждого [math]a\in R[/math] существует обратный относительно сложения элемент [math]-a[/math], такой что [math](-a)+a=0[/math] (противоположный элемент)
2. Согласованность сложения и умножения:

   [math]a\cdot\left(b+c\right) = a\cdot b+a\cdot c,[/math] (левый распределительный закон)

   [math] \left(a+b\right)\cdot c= a\cdot c+b\cdot c[/math] (правый распределительный закон)

Особые случаи

Кольцо с делением на все ненулевые элементы называется телом. Коммутативное тело называется полем.

Ассоциативная алгебра A над коммутативным кольцом сама является кольцом — аксиомы ассоциативной алгебры, по сути, включают в себя аксиомы кольца.

Также важным случаем кольца является кольцо с единицей — нейтральным элементом 1 по умножению.

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — Новое издание, перераб. и доп. — М.: МЦНМО, 2011. — 592 с.