Кольцо (алгебра)

← другие значения

Кольца и поля. Математические структуры. Урок 82 // MathTutor

Кольцо — такое непустое множество, в котором обязательно определены 2 операции: сложение — суммой элементов a и b будет элемент a + b, и умножение — произведением этих же элементов будет элемент ab.

Примером кольца является множество Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbb Z} целых чисел вместе с обычными сложением и умножением. Это — коммутативное кольцо, то есть произведение любых двух его элементов не зависит от порядка: ab = ba.

Аксиомы кольца

Множество R с операциями сложения («+») и умножения («⋅») является кольцом, если и только если оно вместе с операциями удовлетворяет системе аксиом, которые называются аксиомами кольца:

1. Свойства сложения:
   1. Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a+(b+c) = (a+b)+c}  (ассоциативная операция)
   2. Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a+b = b+a}  (переместительный закон)
   3. Существует элемент Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0\in R} такой, что Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0+a=a}  (нейтральный элемент)
   4. Для каждого Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a\in R} существует обратный относительно сложения элемент Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -a} , такой что Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (-a)+a=0}  (противоположный элемент)
2. Согласованность сложения и умножения:

   Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a\cdot\left(b+c\right) = a\cdot b+a\cdot c,}  (левый распределительный закон)

   Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left(a+b\right)\cdot c= a\cdot c+b\cdot c}  (правый распределительный закон)

Особые случаи

Кольцо с делением на все ненулевые элементы называется телом. Коммутативное тело называется полем.

Ассоциативная алгебра A над коммутативным кольцом сама является кольцом — аксиомы ассоциативной алгебры, по сути, включают в себя аксиомы кольца.

Также важным случаем кольца является кольцо с единицей — нейтральным элементом 1 по умножению.

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — Новое издание, перераб. и доп. — М.: МЦНМО, 2011. — 592 с.