Сложение

История развития действия сложения. История математики // МАТЕМАТИКА online (17 июл. 2020 г.) [5:29]

Сложение — арифметическая операция, которая выполняется над двумя числами и заключается в нахождении числа, означающим количество, которое соответствует этим двум исходным числом, если взять их вместе.

Число, являющееся результатом операции сложения двух чисел, называется суммой этих чисел.

Сложение обозначается знаком «+» (плюс), который ставится между двумя операндами. Например, запись «A + B» означает «заключить A и B» или «сумма A и B». Запись «A + B = C» означает: число C есть сумма чисел A и B.

Сложение просто иллюстрируется на уровне быта. Например, можно представить себе, что два числа соответствуют количеству обитателей двухэтажного дома. Тогда сумма этих чисел обозначает количество жителей всего дома.

Формально операция сложения натуральных чисел может быть определена следующим образом:

• x + 1 = S(x)
• x + S(y) = S(x + y)

где S(x) — число, следующее после x.

В соответствии с этим результат сложения (сумма) двух однозначных чисел определяется следующим образом:

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
3	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
4	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
5	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
6	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
7	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
8	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
9	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18

Алгоритм сложения многозначных натуральных чисел

Сложение многозначных чисел в системе позиционных чисел может быть сведено к добавлению однозначных чисел путем побитового сложения с переносом, то есть добавлению тех же цифр компонентов, что и отдельных номеров. Результатом добавления цифр будет значение той же суммы цифр; если сумма цифр дает двузначное число, то берется младшая цифра, а старшая цифра переводится в следующую (по номеру) цифру, которая добавляется к сумме следующих цифр.

Таким образом, сложение многозначных чисел осуществляется по следующему алгоритму:

1) сложите младшие цифры (единицы). Если результат сложения не превышает 9, это будет самая низкая цифра суммы.

Если в результате сложения получилось двузначное число, вторая (младшая) цифра определяет количество единиц в сумме, а первая переводится в старшую категорию (десятки).

2) добавить следующие категории (десятки); если был перевод из предыдущей категории, добавьте его к сумме. Определить вторую цифру суммы, а также осуществить перевод так же, как и для первой категории (пункт 1);

3) повторить пункт 2, перемещаясь от младших цифр к старшим (справа налево), пока все цифры компонентов не будут добавлены.

Если размер битов компонентов не совпадает, то в недостающие старшие цифры меньших компонентов добавляются нули.

При ручном сложении чисел для удобства записывают друг под другом так, чтобы одинаковые цифры появлялись в одном столбце. Единицу, которая переводится в старшую категорию, записывают поверх первого составного номера или просто запоминают.

Сложение положительных и отрицательных чисел

Если среди сумм есть отрицательные числа, сложение может быть сведено к сложению или вычитанию положительных чисел. А именно,

• чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули; принять результат со знаком минус;
• чтобы прибавить положительное число к отрицательному, необходимо вычесть меньший модуль из модуля большего (по абсолютной величине) числа; результат берется со знаком числа, имеющего больший модуль.

Например,

−22 + (−17) = −(22 + 17) = −39

−14 + 40 = 40 − 14 = 26

23 + (−27) = −(27 − 23) = −4

Эти правила вытекают из того факта, что сумма противоположных чисел равна нулю:

a + (−a) = 0

Следовательно

a + b = a + b − 0 = a + b − (b + (−b)) = a − (−b).

То есть сложение можно заменить вычитанием, изменив знак второго компонента на противоположный. И наоборот, вычитание может быть заменено сложением путем замены на противоположный знак вычитаемого числа.

См. также

• Вычитание
• Умножение
• Деление
• Суммирование