Плоскость (геометрия)

Две плоскости, которые пересекаются

Плоскость // Зыкова Высшая математика [32:09]

Плоскость — одно из основных понятий геометрии.

Плоскость — бесконечная поверхность, к которой принадлежат все прямые, проходящие через какие-либо две точки плоскости.

В алгебре плоскость определяется как двухмерное аффинное пространство.

В планиметрии плоскость рассматривается как универсуум, к которому принадлежат все геометрические фигуры. Стереометрия рассматривает бесконечное множество плоскостей, принадлежащих к пространству.

Некоторые характерные свойства[править]

Плоскость — поверхность, которая полностью содержит каждую прямую, соединяющую ее произвольные точки;
Плоскость — множество точек, равноудаленных от двух заданных.

Уравнения плоскости[править]

Впервые встречается у А. К. Клеро (1731).

Уравнение плоскости в отрезках, по-видимому, впервые встречается у Г. Ламе (1816—1818).

Нормальное уравнение ввёл Л. О. Гессе (1861).

Плоскость — алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени.

Общее уравнение (полное) плоскости

Ax+By+Cz+D=0\qquad (1)

где $A,B,C$ и $D$ — постоянные, причём $A,B$ и $C$ одновременно не равны нулю; в векторной форме:

(\mathbf {r} ,\mathbf {N} )+D=0

где $\mathbf {r}$ — радиус-вектор точки $M(x,y,z)$ , вектор $\mathbf {N} =(A,B,C)$ перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор). Направляющие косинусы вектора $\mathbf {N}$ :

\cos \alpha ={\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}},

\cos \beta ={\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}},

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos \gamma = \frac{C}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.}

Если один из коэффициентов в уравнении плоскости равен нулю, уравнение называется неполным. При $D=0$ плоскость проходит через начало координат, при $A=0$ (или $B=0$ , $C=0$ ) П. параллельна оси $Ox$ (соответственно $Oy$ или Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Oz} ). При $A=B=0$ (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A=C=0} , или Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B=C=0} ) плоскость параллельна плоскости $Oxy$ (соответственно $Oxz$ или $Oyz$ ).

Уравнение плоскости в отрезках:

{\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}+{\frac {z}{c}}=1,

где $a=-D/A$ , $b=-D/B$ , $c=-D/C$ — отрезки, отсекаемые плоскостью на осях $Ox,Oy$ и $Oz$ .

Уравнение плоскости, проходящей через точку $M(x_{0},y_{0},z_{0})$ перпендикулярно вектору нормали $\mathbf {N} (A,B,C)$ :

A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0;

в векторной форме:

((\mathbf {r} -\mathbf {r_{0}} ),\mathbf {N} )=0.

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки $M(x_{i},y_{i},z_{i})$ , не лежащие на одной прямой:

((\mathbf {r} -\mathbf {r_{1}} ),(\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} ),(\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} ))=0

(смешанное произведение векторов), иначе

\left|{\begin{matrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\\\end{matrix}}\right|=0.

Нормальное (нормированное) уравнение плоскости

x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -p=0\qquad (2)

в векторной форме:

(\mathbf {r} ,\mathbf {N^{0}} )\mathbf {-p} =0,

где $\mathbf {N^{0}}$ - единичный вектор, $p$ — расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель