Косинус

Косинус — тригонометрическая функция, которая представляет собой коэффициент перевода наклонной в её проекцию на какую-либо ось.

Если между наклонной и осью зафиксировать угол, пропорции между наклонной и проекцией будут сохраняться, сколько бы их ни растягивали (сжимали). Таким образом, косинус можно воспринимать как свойство самого угла.

0—90 градусов

Синус и косинус // GetAClass — Просто математика [13:37]

Поначалу в школах преподаётся очень узкое определение тригонометрических функций — для углов от 0° до 90° и всё дело ограничивается прямоугольным треугольником.

В прямоугольном треугольнике косинусом угла φ между катетом x и гипотенузой r называется отношение первого к последнему:

$\cos \phi ={\frac {x}{r}}.$

0—180 градусов

Если взять прямоугольную систему Oxy и ввести на ней единичную полуокружность, лежащую на полуплоскости y ≥ 0, то единичной полуокружностью называют дугу окружности радиуса 1 с центром в (0; 0).

Если провести из точки (0; 0) луч, образующий с положительным направлением оси Ox угол φ между 0° и 180° и пересекающий эту полуокружность в точке (x, y), то косинусом этого угла называется абсцисса данной точки:

$\cos \phi =x.$

Именно через единичную (полу-)окружность это определение и подаётся в классическом виде вплоть до обобщения до любого вещественного угла.

Такое определение отвлекает от первозданного смысла тригонометрических функций как функций, предназначенных связывать углы и пропорции сторон и разрушает связь между косинусом для 0° — 180° и таким же косинусом для 0° — 90°.

Существует другое определение. В таком определении расширяется первое определение, в результате чего у катета, прилежащего к углу, возникает ориентация.

Для этого берут ось Ox и вектор r, служащий наклонной. Ось Oy вообще не пригодится. Косинусом угла φ между вектором r и положительным направлением оси Ox называют отношение проекции x (то есть того самого катета, у которого и возникла ориентация) вектора к модулю r этого вектора:

$\cos \phi ={\frac {x}{r}}.$

0—360 градусов

Заметим, что, вообще говоря, для косинуса (в отличие от синуса) это расширение мало что меняет из-за того, что проецирование происходит на знакомую нам ось Ox, — и не сильно важно, возьмём ли мы в качестве угла между r и Ox угол от 0° до 180° или от 180° до 360°. И, в самом деле, косинусом угла φ между r и Ox опять называется отношение x к r:

$\cos \phi ={\frac {x}{r}}.$

Вещественный угол

Для обобщения тригонометрических функций на любое действительное число вводится такое понятие, как ориентированный угол. В строгом смысле для введения ориентации угла φ, помимо полярной оси Ox, требуется перпендикулярная ось Oy. И введём обозначения:

• ∠(a, b) — ориентированный угол от вектора a к вектору b;
• ∠|a, b| — абсолютный угол между a и b.

И далее получаем определение, что косинус угла φ от Ox к r — это опять отношение x к r:

$\cos \phi ={\frac {x}{r}}.$

Однако заметим один любопытный момент: так как данное определение не задействует ось Oy, то ориентацией угла, которая же этой осью и порождается, можно как бы пренебречь (чего нельзя было бы сделать для синуса):

$\cos \angle (Ox,\mathbf {r} )=\cos \angle |Ox,\mathbf {r} |,$

в результате чего получается свойство чётности:

$\cos \phi =\cos(-\phi )=\cos |\phi |.$

Комплексный угол

График комплексного косинуса

Для вещественных углов формула Эйлера:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

является теоремой. Однако при обобщении на невещественные числа это принимается как определение, а именно — как обобщение тригонометрических функций на комплексные числа. Как из этой формулы выразить косинус, чтобы получить это определение? Для этого договоримся, что основное тригонометрическое тождество будет сохраняться. Тогда

$e^{-xi}={\frac {1}{\cos x+i\sin x}}={\frac {\cos x-i\sin x}{(\cos x+i\sin x)(\cos x-i\sin x)}}={\frac {\cos x-i\sin x}{\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}}=\cos x-i\sin x,$

а значит,

${\frac {1}{2}}(e^{ix}+e^{-ix})=\cos x.$

Именно это принято за комплексное определение косинуса.

См. также

• Теорема косинусов