Ориентированный угол

Ориентированные углы. Олимпиадная математика // Be Student School (В занятии рассмотрены методы решения олимпиадных задач по математике при помощи ориентированных углов) [9:03]

Ориентированный угол — вещественнозначный угол, наделённый знаком. Имеет смысл в 2D.

Традиционно в математике и физике положительным считают вращение против часовой стрелки. Стоит, однако, признать, что такой выбор можно воспринимать только как соглашение, так как в геодезии за положительное берётся вращение по часовой стрелке. Точно так же по часовой стрелке в HTML и CSS нужно указывать числа для задания четырёх сторон (например, в значении padding под атрибутом style). Более того, если изображение с координатной системой, на которой даны математические построения и какие-то там рассуждения с опорой на ориентацию вращения, просто взять и перевернуть вверх дном, ориентация просто развернётся, но ведь рассуждения не потеряют силу.

Строгое определение

Определение

Всюду ориентированные углы имеются в виду с точностью до их периодичности в 360°.

Всюду абсолютные углы имеются в виду с точностью до выбора между «выпуклым» промежутком углов 0° — 180° и «вогнутым» промежутком 180° — 360° да и вообще с точностью до кратности этих углов, сколько раз эти углы могут сами на себя «наслаиваться».

Обозначим ориентированный угол от вектора a к вектору b как ∠(a, b), а абсолютный — как ∠|a, b| или ∠ab.

Для ориентированного угла справедливы свойства:

1. ∠(a, b) + ∠(b, c) = ∠(a, c);
2. |∠(a, b)| = ∠ab.

Заметим, что для строгого определения, вообще говоря, совокупность данных свойств имеет смысл принять за само определение. Тем паче что свойство 1 является верным именно для направленных величин, а для абсолютных — не обязано. Заметим, что из них следует то, что

∠(b, a) = −∠(a, b).

Остаётся только в качестве эталона определить ориентированный угол, относительно которого будем определять другие: введём полярную ось Ox и перпендикулярную к ней ось Oy — и определим угол ∠(Ox, Oy) между положительными направлениями Ox и Oy как +90°.

Тогда по первому свойству ∠(Oy, r) = ∠(Oy, Ox) + ∠(Ox, r) = −90° + ∠(Ox, r). А отсюда и из второго свойства получается определение, что ориентированный угол ∠(Ox, r) — это такое число φ, что

|φ| = ∠|Ox, r|

и (!)

|−90° + φ| = ∠|Oy, r|,

где существенно, что перед числом 90° стоит минус. По сути, числа |φ| и |φ − 90°| ведут себя как нити «марионетки» в лице вектора r, поскольку их пара совершенно однозначно задаёт его направление, а значит, с точностью до целого числа оборотов однозначно задаёт ориентированный угол φ от Ox к r.

Что касается произвольного угла ∠(r₁, r₂), то его по первому свойству можно определить как ∠(Ox, r₂) − ∠(Ox, r₁).

Почему против часовой стрелки

Общепризнанное сугубо математическое обоснование такого выбора в математическом сообществе вообще невозможно, учитывая рассуждения про разворот какого-либо изображения на 180°.

То есть вопрос сводится исключительно к историческому ходу дел. Однако даже в этом случае в математическом сообществе, скорее всего, до сих пор нет какого-либо консенсусного мнения.

Солнце

Движение солнца по небу в северном и южном полюсах

В частном порядке для объяснения этой причины приводят легенду о том, что природным ориентиром исторически послужило вращение солнца на небе (иначе говоря, вращение проекции Солнца на так называемую небесную сферу) против часовой стрелки. Правда, иногда при приведении этой легенды высказывают, что, возможно, это не более чем фикция, тем самым открещиваясь от легенды. К тому же правда состоит в том, что при переходе на противоположный полюс вращение солнца сменяется на противоположное. И это не говоря уже о том, что, если не смотреть на солнце лицевой стороной, а «смотреть» на неё спиной, то для нас вращение солнца снова сменится на противоположное: например, если, смотря глазами на солнце в Антарктике, мы видим движение «право — верх — лево», то при «взгляде» спиной для нас это уже будет «лево — верх — право». В строгом смысле под «взглядом на солнце глазами» мы имеем в виду, что угол между горизонтальным лучом, в направлении которого мы сейчас повернуты, чтобы смотреть на солнце, и лучом от нас к Солнцу остёр. Тогда как под «„взглядом“ на солнце спиной» мы имеем в виду тупой угол. Таким образом, если мы перейдём от Северного полушария к Южному (или наоборот), двигаясь по большому кругу Земли, то, несколько отступив от экватора, мы станем наблюдать, что стабильно острый угол разворачивается в стабильно тупой (и наоборот). Именно так и можно понимать, почему при переметании между этими полушариями ориентация движения солнца разворачивается туда-сюда.

Справа вверх

Поэтому есть подозрение, что на самом деле причина намного проще — просто ось Ox, которую считают «первичной», традиционно чертят направо, а Oy — наверх. Это подозрение, вообще говоря, неофициальное, необщеизвестное, но достаточно адекватное. И таким чином положительным вращением называют вращение, с которым на 90° поворачиваются от правого направления к верхнему. То есть вопрос, почему именно против часовой, сводится к тому, почему направления осей именно те, какие они есть, и почему именно оси Ox досталась роль более «главной» оси. Вот эта логика с направлениями осей неявно и используется в 2D-системе координат.

Исторически, скорее всего, данная логика была перенесена и на плоскость комплексных чисел: по классике Re чертят вправо, а Im — вверх. Причём перенесена была опять-таки неявно. При этом объективно (в отличие от обычной декартовой системы) полярной осью является Re: дело в том, что правило сложения аргументов комплексных чисел и формула Эйлера формулируются более стройно и естественно, если углы отсчитывать именно от Re, а не от Im. Данный факт можно понимать в свете того, что умножение на 1 никак не меняет комплексное число. В итоге здесь положительное вращение — тоже против часовой стрелки. Что и сказывается на форме записи таких формул, как интегральная теорема Коши, определение комплексного вычета и прочее.

Почему по часовой стрелке

Достоверно это неясно, однако общеизвестно, что традиционно в геодезии в качестве полярной оси берут север, то есть как бы «верх». То есть более «первичной» осью выставляют не правую, как в точных науках, а верхнюю. А в качестве «вторичной», по всей видимости, берут восток, то есть как бы «право». Очень возможно, что именно отсюда и ориентация угла.

Дирекционный угол в декартовой системе. Оси Ox и Oy поменяны местами, что влияет на ориентацию вращения. Gitternord по-немецки означает движение в северном направлении по линии сетки в картографической проекции.

В CSS придерживаются точно такого же принципа: например, если написан тег <div style="margin: 0 12px 0 7px">, такой атрибут будет задавать отступы блока div от внешних элементов на 0 px сверху, 12 px справа, 0 px снизу и 7 px слева.

Тригонометрия

Ориентация угла важна не только сама по себе, но и в тригонометрии, когда мы обобщаем тригонометрические функции до любого вещественного аргумента.

Правда, стоит признать, что у таких функций, как косинус и секанс, на это в некотором смысле есть «иммунитет». В силу того, что они обладают чётностью:

$\cos(-\phi )=\cos \phi =\cos |\phi |,\qquad \sec(-\phi )=\sec \phi =\sec |\phi |,$

их определение не может разрушиться, даже если их считать не в терминах ориентированных углов. Но этим дело не ограничивается: если копать ещё глубже, то в их определении используется проецирование только на полярную ось Ox, и, таким образом, их определения даже не нуждаются в ориентации угла с помощью Oy.

В отличие от них, синус, тангенс, котангенс и косеканс, наоборот, зиждятся на знаке угла.

Направляющие косинусы

Как уже сказано выше, пара чисел |φ| и |φ − 90°| однозначно определяет направление вектора r, и, таким образом, координаты этого вектора

$\{r\cos \phi ;r\sin \phi \}$

можно переписать как

${\big \{}r\cos |\phi |;r\cos |\phi -90^{\circ }|{\big \}}={\big \{}r\cos \angle |Ox,\mathbf {r} |;r\cos \angle |Oy,\mathbf {r} |{\big \}}.$

Тогда данное понятие можно обобщить на пространства более высоких размерностей, используя углы между какой-либо координатной осью и данным вектором. Косинусы таких углов называются направляющими косинусами вектора.

3D

Очень «жёсткая» ошибка авторов учебника, заключающая в замалчивании того, глядя с какой стороны мы должны видеть это самое вращение против часовой стрелки, которое мы договорились считать положительным.

В 3-мерном пространстве ориентированный угол как число бессмысленен, поскольку какое-либо изображение, в котором за положительное вращение договорились брать такое-то, можно просто взять и перевернуть на 180° — и получится обратное вращение. Неужели теперь мы будем его считать положительным? То же самое можно сказать и про движение солнца на небе.

Вместо этого вводится такое понятие, как вектор нормали. В каждой точке ориентированной поверхности он может принимать ровно по два направления — противоположных друг другу. Выбор же между ними определяется следующим образом: в 3-мерном пространстве ориентированный угол как вектор нормали направлен туда, глядя откуда мы видим вращение, считающееся положительным. В зависимости от того, считать положительным вращение по часовой или против часовой, выбирается либо правило правой руки, либо обратное ему правило «левой руки» .

Схожий смысл в себе несёт векторное произведение: это ориентированная площадь параллелограмма, натянутого на множители, в 3D. Более того, направление этого произведения определяется по тому же принципу.

См. также

• Ориентированная площадь — площадь, понятие которой тесно связано с ориентированным углом.