Рациональные числа

Рациональные числа // Доступная математика

Рациональные числа — всевозможные числа, которые представляются как частное целого и натурального числа, то есть в виде дроби (отношения) p/q, где p — целое число, q — натуральное число.

Две такие дроби p₁/q₁ и p₂/q₂ считаются равными, если p₁q₂ − p₂q₁ = 0 (иными словами, дроби можно «сокращать», то есть mp/mq = p/q для ненулевого m).

Основные свойства[править]

Сложение рациональных чисел дробей осуществляется путем «приведения к общему знаменателю»:

p₁/q₁ + p₂/q₂ = (p₁q₂ + p₂q₁)/q₁q₂

Аналогичным образом определяется вычитание рациональных чисел: p₁/q₁ − p₂/q₂ = (p₁q₂ − p₂q₁)/q₁q₂

Противоположным числом к дроби p/q является дробь −p/q:

p/q + (−p/q) = 0.

Произведение рациональных чисел p₁/q₁ и p₂/q₂ — это число p₁p₂/q₁q₂.

Целые числа вкладываются в рациональные, так как любое целое число n можно представить как дробь n/1. Таким образом, рациональные числа являются расширением целых чисел (которые, в свою очередь — расширение натуральных чисел). Если при расширении натуральных чисел до целых становится возможным вычитать любые числа, то при расширении целых чисел до рациональных становится возможным делить на любое число, не равное нулю.

Для рациональных чисел p₁/q₁ и p₂/q₂, второе из которых не равно 0 (то есть p₂ ≠ 0), определено частное этих чисел:

p₁/q₁ : p₂/q₂ = p₁q₂ / q₁p₂.

Для любого ненулевого рационального числа p/q существует обратное к нему по умножению — число q/p. Действительно, p/q · q/p = pq/pq = 1.

Для сложения и умножения рациональных чисел, как и для целых, выполняются свойства коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности, а существование обратного элемента по умножению у всех ненулевых рациональных чисел доказывает, что это коммутативное и ассоциативное кольцо является полем.

В математической и учебной литературе поле рациональных чисел обозначается $\mathbb {Q}$ . Поле рациональных чисел вкладывается в поле действительных (вещественных) чисел $\mathbb {R}$ , которое можно представлять, например, как множество бесконечных десятичных дробей (так оно часто определяется в школьном курсе математики). При этом рациональным числам соответствуют периодические десятичные дроби (то есть такие, в которых есть бесконечное повторение одной и той же последовательности, начиная с некоторой позиции). Например, 1,0333333… = 31/30 — рациональное число.

Любое рациональное число с помощью алгоритма Евклида может быть единственным образом представлено в виде (конечной) цепной дроби:
${\frac {m}{n}}=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{a_{k}}}}}}}}}$
(a₀ — целое число, a_i — натуральные при 1 ≤ i ≤ k, и обычно полагается, что последний элемент a_k > 1, если рациональное число m/n — не целое).

В алгебре определяется операция расширения коммутативного ассоциативного целостного (в котором произведение ненулевых элементов не равно нулю) кольца до поля, которое называется полем частных, и это вложение аналогично вложению кольца целых чисел в поле рациональных чисел. Например, кольцо многочленов от одной переменной над полем K, обозначаемое K[x], вкладывается в поле рациональных функций одной переменной, обозначаемое K(x).

Уже в Древней Греции стало известно, что ${\sqrt {2}}$ (длина диагонали квадрата со стороной 1, равная «квадратному корню из 2») не выражается рациональным числом. Такие числа называются иррациональными. Позднее стало известно что число Пи иррационально (длина окружности с диаметром 1), аналогично и многие другие фундаментальные математические константы иррациональны. Иррациональным числам соответствуют непериодические бесконечные десятичные дроби, также любое иррациональное число раскладывается в бесконечную цепную дробь.

Пример, показывающий возможность нумерации положительных рациональных чисел

Рациональных чисел бесконечно много. При этом это множество счетно, то есть существует взаимно однозначное соответствие между множеством рациональных чисел и множеством натуральных чисел. В то же время, множество всех действительных чисел не является счетным.