Циклопедия скорбит по жертвам террористического акта в Крокус-Сити (Красногорск, МО)

Цепная дробь

Материал из Циклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Цепные дроби — Николай Мощевитин / ПостНаука

Цепная дробь (непрерывная дробь) — конечное или бесконечное выражение для действительного числа r вида

где  — целое число, а  — натуральные числа (при ).

Сокращенная запись:

Рациональным числам соответствуют конечные цепные дроби, а иррациональным — бесконечные.

Цепные дроби появились в работах Пьетро Антонио Катальди (1613 год), их теория развита Джоном Валлисом, Леонардом Эйлером и Жозефом Луи Лагранжем.

Примеры[править]

  • (конечная цепная дробь)
  • (бесконечная цепная дробь)

Цепные дроби и алгоритм Евклида[править]

Цепные дроби появляются в теории чисел и математическом анализе, а также используются в вычислительной математике, физике и прикладных задачах, в которых требуются хорошие приближения рациональными числами.

Если есть натуральные числа m и n и разложение по алгоритму Евклида:

,
,
,
,
(деление нацело),

то с помощью него получаются чи́сла, образующие (конечную) цепную дробь для рационального числа m/n:

Алгоритм получения цепной дроби для любого вещественного числа[править]

Для любого вещественного числа может быть может быть получена конечная либо бесконечная цепная дробь , его представляющая, по следующему алгоритму.

где обозначает целую часть числа (округление до ближайшего целого в меньшую сторону).

Рациональные числа и только они представляются конечной цепной дробью, в этом случае ее получение совпадает с алгоритмом Евклида.

Свойства[править]

Конечную дробь , записанную в виде рациональной дроби , называют n-ой подходящей дробью.

Для числителей и знаменателей подходящих дробей выполнены рекуррентные формулы, выведенные Леонардом Эйлером:

Также:

Если дана бесконечная цепная дробь

то подходящие дроби можно рассматривать как последовательные приближения к действительному числу r, и при любых натуральных из определения цепной дроби существует предел

Скорость сходимости этой последовательности оценивается как .

Отсюда следует, что подходящая дробь является наилучшим приближением исходного числа r среди всех дробей (рациональных чисел), знаменатель которых не превосходит .

Цепная дробь является периодической тогда и только тогда, когда она представляет квадратическую иррациональность (то есть вещественное число вида , иными словами — корень квадратного уравнения с целыми коэффициентами). Это утверждение называется теоремой Лагранжа.

См. также[править]

Литература[править]