Цепная дробь (непрерывная дробь) — конечное или бесконечное выражение для действительного числа r вида
где — целое число, а — натуральные числа (при ).
Сокращенная запись:
Рациональным числам соответствуют конечные цепные дроби, а иррациональным — бесконечные.
Цепные дроби появились в работах Пьетро Антонио Катальди (1613 год), их теория развита Джоном Валлисом, Леонардом Эйлером и Жозефом Луи Лагранжем.
- (конечная цепная дробь)
- (бесконечная цепная дробь)
Цепные дроби и алгоритм Евклида[править]
Цепные дроби появляются в теории чисел и математическом анализе, а также используются в вычислительной математике, физике и прикладных задачах, в которых требуются хорошие приближения рациональными числами.
Если есть натуральные числа m и n и разложение по алгоритму Евклида:
- ,
- ,
- ,
- …
- ,
- (деление нацело),
то с помощью него получаются чи́сла, образующие (конечную) цепную дробь для рационального числа m/n:
Алгоритм получения цепной дроби для любого вещественного числа[править]
Для любого вещественного числа может быть может быть получена конечная либо бесконечная цепная дробь , его представляющая, по следующему алгоритму.
где обозначает целую часть числа (округление до ближайшего целого в меньшую сторону).
Рациональные числа и только они представляются конечной цепной дробью, в этом случае ее получение совпадает с алгоритмом Евклида.
Конечную дробь , записанную в виде рациональной дроби , называют n-ой подходящей дробью.
Для числителей и знаменателей подходящих дробей выполнены рекуррентные формулы, выведенные Леонардом Эйлером:
Также:
Если дана бесконечная цепная дробь
то подходящие дроби можно рассматривать как последовательные приближения к действительному числу r, и при любых натуральных из определения цепной дроби существует предел
Скорость сходимости этой последовательности оценивается как .
Отсюда следует, что подходящая дробь является наилучшим приближением исходного числа r среди всех дробей (рациональных чисел), знаменатель которых не превосходит .
Цепная дробь является периодической тогда и только тогда, когда она представляет квадратическую иррациональность (то есть вещественное число вида , иными словами — корень квадратного уравнения с целыми коэффициентами). Это утверждение называется теоремой Лагранжа.