Бесконечно малая
Бесконечно малая величина, или инфинитезима́ль[1] — величина, настолько близкая к нулю, что её невозможно обнаружить средствами арифметики обычных целых чисел.
Предпосылки появление понятия[править]
Произведение бесконечно малой на всякое целое число не может достигнуть (или превысить) единицу. Ненулевые бесконечно малые невозможны в системе действительных (вещественных) чисел, что следует из аксиомы Архимеда. Их формальное изучение возможно при помощи особых конструкций: неархимедовы упорядоченные поля (включая так называемый «нестандартный анализ») или же понятия предела функции (включая бесконечные последовательности). В случае функций (последовательностей), по определению, бесконечно малая имеет предел 0 по заданной базе (т. е. в заданном месте).
Например, при последовательность является бесконечно малой, т. к. .
Исторически проблема бесконечно малых являлась центральной в формировании анализа, в особенности дифференциального и интегрального исчислений. Даже непрерывность функции понималась математиками конца XVIII века как свойство иметь бесконечно малые приращения значения при бесконечно малых приращениях аргумента.[2]
Величина, обратная к бесконечно большой, является бесконечно малой.
История[править]
Первые известные публикации о бесконечно малых принадлежат Архимеду. В сочинении «Метод механических теорем» он предложил свою версию интегрального исчисления, но низкий уровень математики в последующие столетия помешал дальнейшему развитию его идей.
Исаак Ньютон уделил большое внимание бесконечно малым в своём сочинении «Method of Fluxions» (написано около 1671 года, при жизни не опубликовано). Идеи Ньютона быстро вошли в моду, на что епископ Джордж Беркли ответил ядовитым памфлетом. В число скептиков входили также Исаак Барроу и Мишель Ролль. После работ Коши и Вейерштрасса проблема построения числовой системы, включающей бесконечно малые и бесконечно большие, перестала волновать аналитиков. Однако в XX веке такими системами заинтересовались логики в связи с некоторыми вопросами теории множеств (в частности, об ультрафильтрах).
См. также[править]
- Дифференциал (математика) и Смысл дифференциалов
- Пренебрежимо мало — смысловой аналог в физике
- Монадология
Источники[править]
- ↑ От лат. infinitesimus[1]. Такой русскоязычный термин встречается, например, в совместной работе Гордона Е. И., Курсаева А. Г., Кутателадзе С. С. 2001 года
- ↑ John L. Bell, «Continuity and Infinitesimals», Стэнфордский университет
Литература[править]
- Бесконечно малые и бесконечно большие величины // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890−1907.
| Классический анализ | Дифференциальное исчисление • Интегральное исчисление |
|---|---|
| Теория функций | Теория функций вещественного переменного • Теория меры • Комплексный анализ • Функциональный анализ • Вариационное исчисление |
| Дифференциальные и интегральные уравнения |
Обыкновенные дифференциальные уравнения • Уравнения в частных производных • Динамические системы • Интегральные уравнения |
| Векторный анализ • Глобальный анализ • Теория катастроф • Бесконечно малая • | |