Бесконечно малая

Материал из Циклопедии
(перенаправлено с «Бесконечно малое»)
Перейти к навигации Перейти к поиску
Бесконечно малая часть (и её отбрасывание) у гипервещественных чисел

Бесконечно малая величина, или инфинитезима́ль[1], — величина, настолько близкая к нулю, что её невозможно обнаружить средствами арифметики обычных целых чисел; в частности, произведение бесконечно малой на всякое целое число не может достигнуть (или превысить) единицу. Ненулевые бесконечно малые невозможны в системе действительных (вещественных) чисел, что следует из аксиомы Архимеда. Их формальное изучение возможно при помощи особых конструкций: неархимедовы упорядоченные поля (включая так называемый «нестандартный анализ») или же понятия предела функции (включая бесконечные последовательности). В случае функций (последовательностей), по определению, бесконечно малая имеет предел 0 по заданной базе (т. е. в заданном месте).

Например, при [math]\displaystyle{ n\to\infty }[/math] последовательность [math]\displaystyle{ \frac{1}{n} }[/math] является бесконечно малой, т. к. [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0 }[/math].

Исторически проблема бесконечно малых являлась центральной в формировании анализа, в особенности дифференциального и интегрального исчислений. Даже непрерывность функции понималась математиками конца XVIII века как свойство иметь бесконечно малые приращения значения при бесконечно малых приращениях аргумента.[2]

Величина, обратная к бесконечно большой, является бесконечно малой.

История[править]

Archie1small.png

Первые известные публикации о бесконечно малых принадлежат Архимеду. В сочинении «Метод механических теорем» он предложил свою версию интегрального исчисления, но низкий уровень математики в последующие столетия помешал дальнейшему развитию его идей.

Исаак Ньютон уделил большое внимание бесконечно малым в своём сочинении «Method of Fluxions» (написано около 1671 года, при жизни не опубликовано). Идеи Ньютона быстро вошли в моду, на что епископ Джордж Беркли ответил ядовитым памфлетом. В число скептиков входили также Исаак Барроу и Мишель Ролль. После работ Коши и Вейерштрасса проблема построения числовой системы, включающей бесконечно малые и бесконечно большие, перестала волновать аналитиков. Однако в XX веке такими системами заинтересовались логики в связи с некоторыми вопросами теории множеств (в частности, об ультрафильтрах).

См. также[править]

Источники[править]

  1. От лат. infinitesimus[1]. Такой русскоязычный термин встречается, например, в совместной работе Гордона Е. И., Курсаева А. Г., Кутателадзе С. С. 2001 года
  2. John L. Bell, «Continuity and Infinitesimals», Стэнфордский университет

Литература[править]