Функция (математика)

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
График функции
[math]\begin{align}&\scriptstyle \\ &\textstyle f(x) = \frac{(4x^3-6x^2+1)\sqrt{x+1}}{3-x}\end{align}[/math]
Что такое функция. Область определения и область значений // Артур Шарифов [10:02]
Функция — Принципы математического мышления // Маткульт-привет! Алексей Савватеев и Ко [23:14]
Телекинокурс. Высшая математика. Лекции 5-6. Функция (1970) [1:11:55]

Полная функция, или просто функция в математике — это особый вид отношения: каждый элемент области определения связан с уникальным элементом области значений. Частичная функция не несёт требования «для каждого».

Готфрид Лейбниц впервые употребил термин в применении к функциям величин. Функциональная зависимость ставит каждому значению независимой величины строго одно значение зависимой величины. Термином «функция» в классической математике преимущественно пользуются в отношении обозначения числовых функций, в остальных случаях — специальными терминами (отображение, преобразование, оператор, функционал, вектор-функция и другие.)

В простейшим случае, если величины — действительные числа, функция определяется как соответствие числа y заданному числу x, что обозначается y=f(x), где x — независимая переменная (аргумент), y — зависимая переменная (функция). Понятия «зависимой» и «независимой» величин являются в значительной степени условными.

Функция может быть определена как бинарное отношение между двумя множествами [math]~ \mathrm{f} \subseteq X \times Y[/math], в которой каждому элементу x множества X соответствует один элемент y множества Y такой, что y=f(x).

  • [math]~ \mathrm{f}: X \mapsto Y \ \Leftrightarrow \ \mathrm{f} = \{\langle x, y \rangle| \quad \langle x, y \rangle \in X \times Y \quad \land \quad y = f(x)\}[/math]
  • [math]~ \mathrm{f}: X \mapsto Y \ \Leftrightarrow \ \mathrm{f} \subseteq X \times Y \quad \land \quad \mathrm{f} \ne \varnothing \quad \land \quad \forall_{x \ \in \ X} \ \exists_{y \ \in \ Y} \ (y = f(x))[/math]
  • [math]~ \mathrm{f}: X \mapsto Y \ \Leftrightarrow \ \mathrm{f} \subseteq X \times Y \quad \land \quad \mathrm{f} \ne \varnothing \quad \land \quad \forall x \ (x \in X \ \to \ f(x) \in Y)[/math]

Функция может быть задана аналитически (с помощью одной или более формул), где установлены вычислительные операции над x для получения значения y. Объемом (областью) определения функции считается совокупность значений x, для которых допустимо выполнение операций, приведенных в формулах. Иногда функция задается на словах, например, функция Дирихле равна 1, если x — рациональное число, и равно 0, если x — иррациональное число.

[править] См. также

[править] Ссылки

Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты