Наибольшее и наименьшее значения функции

Наибольшее и наименьшее значения функции — значения, которые функция может принимать на заданном отрезке или в заданной области определения.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке, необходимо выполнить следующие шаги:

• найти критические точки функции — это точки, где производная функции равна нулю или не существует. Эти точки представлены максимум и минимумом функции;

Максимум функции — это наибольшее значение, которое функция может достичь на заданном отрезке или в заданной области определения.

Минимум функции — это наименьшее значение, которое функция может достичь на заданном отрезке или в заданной области определения.

• проверить значения функции в критических точках и на концах отрезка;
• проверить значения функции на границах области определения.

Нахождение значения функции

Чтобы найти наименьшее или наибольшее значение функции, необходимо понять, какое наименьшее или наибольшее численное значение принимает $y$ — зависимая переменная.

Наибольшее значение функции

Наибольшее значение функции $y=f(x)$ на некотором промежутке {${a;b}$} — это значение max $y=f(x_{0})$, $x_{0}\in$ {${a;b}$}, которое при любом значении $x\in$ {${a;b}$}, делает справедливым неравенство $f(x)\leq f(x_{0})$.

Наименьшее значение функции

Наибольшее значение функции $y=f(x)$ на некотором промежутке {${a;b}$} — это значение min $y=f(x_{0})$, $x_{0}\in$ {${a;b}$}, которое при любом значении $x\in$ {${a;b}$}, делает справедливым неравенство $f(x)\geq f(x_{0})$.

Наибольшее и наименьшее значение функции на графиках

Самый простой способ определить $y$ max и $y$ min — рассмотреть график.

Если заданный интервал представлен прямой:

• при возрастающей функции: наименьшее значение функция примет при наименьшем аргументе и наоборот, наибольшее значение функции будет соответствовать наибольшему значению аргумента;
• при убывающей функции: наименьшее значение функция примет при наибольшем аргументе и наоборот, наибольшее значение функции будет соответствовать наименьшему значению аргумента.

Если заданный интервал представлен кривой:

• максимальное значение функции выглядит как вершина горы, возвышенности, тогда как минимальное значение мы можем определить как самую низкую точку относительно этого пика;
• минимальное значение функции выглядит как дно низины, оврага, тогда как максимальное значение мы можем определить как самую высокую точку относительно этого пика.

Определение наименьшего и наибольшего значения через производную

Производная функции — это отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно малом приращении аргумента. Производная функции показывает, как быстро увеличивается функция ($y$) при бесконечно малом увеличении $x$.

Нахождение производной означает проведение определённых действий с помощью таблицы производных функций.

Для этого определяют стационарную точку — точку, в которой значение аргумента производной функции равно нулю.

По теореме Ферма в стационарных точках определяется экстремум функции, поэтому можно сделать вывод, что на некотором промежутке в них можно определить и наибольшее или наименьшее значение функции.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке

1. Нахождение области определения данной функции и проверка, входит ли в неё заданный отрезок;
2. Нахождение производной данной функции;
3. Приравнивание производной к нулю и нахождение точки, в которых она обращается в нуль (решение уравнения);
4. Выбор из корней уравнения точек, которые попадают в заданный промежуток, и вычисление значения функции в них;
5. Нахождение значение функции в заданных точках.

См. также

• Экстремум
• Супремум
• Теорема Ферма — Эйлера

Литература

• Кошелева Н. Н., Никитина М. Г. Решение школьных задач повышенной вычислительной трудности с использованием частных производных // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2013.
• Ляликова Е. Р. Экономические приложения теории экстремумов функций двух переменных // Проблемы современной науки и образования. 2015.

Одним из источников этой статьи является статья в википроекте «Рувики» («Багопедия», «ruwiki.ru») под названием «Наибольшее и наименьшее значения функции», находящаяся по адресу: «https://ru.ruwiki.ru/wiki/Наибольшее_и_наименьшее_значения_функции» Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?»