Смысл математики
Смысл математики — это объяснение или оправдание математики в известной системе понятий или ценностей. Предмет философской проблемы, стремящейся осветить «суть» и «пользу» математики, характер её исторического развития и дальнейшие перспективы.
Смысл на практике: математизация научного знания[править]
Поныне не утверждено общего решения проблемы о смысле математики, однако, не терпит оговорок её исключительная роль, как логического средства в науке и во многочисленных традициях искусств, технологий и образования.
Популярна цитата из «Пробирщика» Галилея:[1] «Философия пишется в сей величайшей книге, продолжающей открываться нашим очам (я говорю о Вселенной), но её не понять, сперва не учась пониманию языка, и знанию букв, и также того, что написано. Пишется [та книга] на языке математики, а буквы суть треугольники, окружности и другие геометрические фигуры, без помощи коих её невозможно растолковать по-человечески; без них мы тщетно блуждаем в тёмном лабиринте.»
Исторически устойчивы наречения математики «языком» и «языком науки», причём науки, не только лишь как общественного института, а как направления философии: универсального пути разумного мышления. Математическая традиция не вымещает человеческие языки из научного общения, а добавляет понятия и термины: либо новые, либо же дающие замену менее научным оборотам речи, — таким, что менее потребны в делах универсального познания. Языковая составляющая математического мышления, подобно иным формальным или человеческим языкам, будучи освоена, позволяет создавать новые, ранее неявные, фигуры разума и воображения. Математизация научного языка способствует сообщению наивысших форм мышления в обществе, а на уровне индивидуального ума, вдобавок, — предоставляет средство для понятийного творчества и способствует математическому предвосхищению научных гипотез в среде учёных. Обслуживая вычислительные и логические потребности всей фундаментальной науки и великого разнообразия технологий, математика наиболее широко востребована, именно как институт по стандартизации общения. Поскольку математика мотивируется задачами исследования знаковых систем, постольку она естественный авторитетный источник терминов, понятий, нотаций и логических правил. В этой роли математика дополняется трямя другими формальными науками, либо же налагается на них вплоть до полной унификации, — в таких дисциплинах, как абстрактная алгебра, теория типов и теория формальных языков.
Подходы классиков[править]
Начиная с Галилея язык математики стал языком натуральной философии — физики — начавшей рассматривать Вселенную со свойств, обладающих постоянством или симметрией. Это законы-принципы, которым, как поныне оказывается, естествоиспытатель вполне «может доверять»: позитивизм (или, вернее, свобода от нормативизма), редукционизм, космологический принцип, постоянство фундаментальных констант. Эффективность математики в познании Природы была названа непостижимой,[2] однако, можно «постичь» математику в её современном историческом виде, как предел языковых способностей человечества ко строгому описанию вообще каких-либо закономерностей, — к передаче информирующих «сигналов», а не «помех». Раз закономерности (в противопоставление резерфордовскому] «коллекционированию марок»[3]) интересны для науки, математика это незаменимое в ней средство понимания.
С другой стороны, от Древней Греции развивается понимание математики, как аксиоматической системы на логических основах. Сердцевиной классической математики оказываются натуральные числа, появление теории которых — арифметики — философ Иммануил Кант связал с понятием времени; геометрию же он связал с понятием пространства; без понятий о пространстве и времени по Канту невозможно познание. Теоремы Гёделя установили, что если содержательная математика — та, в которой есть хотя бы натуральные числа — непротиворечива, то это невозможно доказать её собственными средствами, а также, что если арифметика непротиворечива, то любая система её аксиом будет неполна: найдутся утверждения, про которые нельзя доказать, ложны они или истинны. Это указывает на некий произвол выбора аксиом и вечную «недоказанность» математики.
Навряд ли кто из математиков сомневается в её непротиворечивости.
Если система аксиом фиксирована, то на первый взгляд все следствия аксиом — тавтологические истины, и, казалось бы, где же тогда смысл математики? На это Игорь Шафаревич в работе «Математическое мышление и природа», следуя идеям Анри Пуанкаре, отвечает, что математическое творчество сродни искусству: человек ищет не произвольные любые теоремы, а только красивые: за ценность предлагается считать красоту математики.
Априорность математического знания[править]
С проблемой смысла математики тесно связана проблема о её априорности, поднимаемая на протяжении истории. Ставится вопрос: математика так или иначе «объективно существует», или же она придумана людьми на основе их опыта.
Эмпиризм утверждает, что математика вытекает из опыта, а математические аксиомы суть абстракции, созданные из лекал восприятия реального мира. Так, измеряя количества и величи́ны, человек выработал понятие о числе и его свойствах, то есть арифметику; измеряя соотношения величин в повседневной жизни: расстояния, углы, площади, объёмы, — развил геометрию. Изучение операций привело к развитию алгебры, а изучение движения и колебаний сформировало математический анализ, оперирующий с бесконечно малыми величинами.
Иммануил Кант старался доказать, что математика формируется на основе априорных форм восприятия действительности — пространства и времени, — без восприятия которых невозможно познание. Соответственно, математика связывается с опытом и реальным миром, но опосредованно, как производная некоторого рода фундаментальных очевидностей сознания[4]. У идей Канта есть многочисленные интерпретации.
От Платона непрерывной традицией идёт концепция о существовании особого мира идей, который древнегреческий философ противопоставлял миру вещей. Согласно некоторым современным трактовкам, идущим от русского философа и священника Павла Флоренского (который был последователем имяславцев), математика есть часть мира идей, а ее объекты суть символы, знаки, термины. Борец с имяславием архиепископ Никон проводил аналогию между именами и математическими понятиями, подразумевая, что последние не существуют в реальном мире. Современный сторонник имяславия математик и философ Алексей Паршин в своей книге «Путь. Математика и другие миры» говорит, что этот аргумент можно обратить в пользу имяславия, признав, что имена, как и математические понятия, существуют, но в сверхчувственном, умопостигаемом мире.
Бертран Рассел утверждал, что математическое знание — не эмпирическое или априорное, а словесное, иначе говоря, знание об отношениях терминов.
См. также[править]
Источники[править]
- ↑
La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l'universo), ma non si può intendere se prima non s'impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne' quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto.
— Galileo Galilei — Il Saggiatore, Capitolo VI. - ↑ 1959 год, Юджин Вигнер, The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences
- ↑ https://ru.wikiquote.org/wiki/%D0%AD%D1%80%D0%BD%D0%B5%D1%81%D1%82_%D0%A0%D0%B5%D0%B7%D0%B5%D1%80%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%B4#Цитаты
- ↑ Перминов В. Я. Априорность и реальная значимость исходных представлений математики // Стили в математике: социокультурная философия математики. — СПб., 1999. — С. 80-110.
Литература[править]
- Катречко С. Л. К вопросу об «априорности» математического знания // В сборнике «Математика и опыт», 2001.
- Математика и опыт / Под ред. А.Г. Барабашева. — М.: Изд-во МГУ, 2003. - 624 с.
- Паршин А. Н. Путь. Математика и другие миры. — М.: «Добросвет», 2002. — 240 с. ISBN 5-7913-0053-0.
- Уайтхед А. Философская мысль Запада.
- Шафаревич И. Р. Математическое мышление и природа.
- Л.И. Хохлова Мировоззренческая значимость математического знания для естественнонаучного направления космизма.