Угол между векторами в трёхмерном пространстве

Геометрия 11 класс : Угол между векторами. Скалярное произведение векторов [4:19]

Угол между векторами — это угол между направлениями радиус-векторов соответствующих точек.

Обозначения

Введём обозначения:

[math]\displaystyle{ \bar r_1=(x_1,y_1,z_1) }[/math] — первый вектор;

[math]\displaystyle{ \bar r_2=(x_2,y_2,z_2) }[/math] — второй вектор;

[math]\displaystyle{ φ_{\bar r_1\bar r_2} }[/math] — угол между первым и вторым векторами [math]\displaystyle{ (0\lt φ_{\bar r_1\bar r_2}\lt π) }[/math].

Формула

[math]\displaystyle{ \varphi_{\overline{r}_1\overline{r}_2}=\arccos\frac{\left(\overline{r}_1\cdot\overline{r}_2\right)}{|\overline{r}_1|\cdot|\overline{r}_2|} }[/math]

[math]\displaystyle{ \varphi_{\overline{r}_1\overline{r}_2}=\arccos\frac{x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\cdot\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}} }[/math]

Другие формулы:

• Угол между векторами;
• Угол между прямыми;
• Угол между плоскостями;
• Угол между прямой и плоскостью.

Виды формул:

• неравенства;
• операции;
• расстояния;
• длины;
• площади;
• объёмы;
• проекции;
• точки;
• уравнения;
• системы уравнений;
• углы;
• дифференциальные уравнения;
• системы дифференциальных уравнений.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.