Определённый интеграл

Материал из Циклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Наука
Математика
Тема

Вычисление определённого интеграла

Предмет изучения

действия с определенными интегралами

Период зарождения

XVII век

Основные направления

математика
математический анализ

Вспомогат. дисциплины

алгебра, геометрия, математический анализ

 Просмотреть·Обсудить·Изменить

Определённый интеграл функции f(x) — предел интегральной суммы Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_{a}}  в границах от x = a до x = b при условии, что число разбиений n стремится к бесконечности, а наибольшая из разностей — к нулю[1].

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int\limits_{a}^{b} f(x)dx=\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n{f(c_i)\Delta x_i} }

Свойства определённого интеграла[править]

Определённый интеграл имеет следующие свойства[2]:

  1. Определённый интеграл меняет знак при перемене местами пределов интегрирования: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \int\limits_{a}^{b} \displaystyle f(x)dx=-\textstyle \int\limits_{b}^{a} \displaystyle f(x)dx}
  2. Определённый интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \int\limits_{a}^{a} \displaystyle f(x)dx=0.}
  3. Свойство аддитивности:Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \int\limits_{a}^{b} \displaystyle f(x)dx=\textstyle \int\limits_{a}^{c} \displaystyle f(x)dx+ \textstyle \int\limits_{c}^{b} \displaystyle f(x)dx,} где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c\in(a;b) .}
  4. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла:Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \int\limits_{a}^{b} \displaystyle k f(x)dx= k\textstyle \int\limits_{a}^{b} \displaystyle f(x)dx.}

Вычисление определённого интеграла. Формула Ньютона- Лейбница[править]

Исаак Ньютон (1643−1727) — английский физик, астроном, математик, философ. Основоположник современной теоретической механики, создатель математики непрерывных процессов. Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646−1716) — немецкий математик, физик, философ, лингвист.

Исследователи в области дифференциального и интегрального исчисления независимо друг от друга осуществили свои фундаментальные работы. Так, Ньютон сосредоточился на использовании данной математики для механических задач: определение скоростей при известных законах движения и обратное — установление законов движения по заданным скоростям[3].

Лейбниц же ориентировал своё внимание преимущественно на решение геометрических проблем, включая задачи касательных к кривым (определение их через касание) и построение этих самых кривых с использованием известных касательных. Этот подход отражает глубокую связь дифференциального и интегрального исчисления как в механике, так и геометрии[3].

Возникновению современной концепции предела предшествовали столетия исследований. На пороге XVII-XVIII веков понятие предела оставалось не определённым. В связи с этим ни Ньютон, ни Лейбниц не рассматривали интеграл как предел сумм, что стало возможным лишь после более точного определения этого математического понятия в последующие годы[3].

Приращение Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F(b)-F(a)} произвольной первообразной Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F(x)} функции Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(x)} при изменении аргумента Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} от значения Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a} до значения Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b} назовем определённым интегралом Ньютона — Лейбница и обозначим символом, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \int\limits_{a}^{b} \displaystyle f(x)dx .} Таким образом, у нас получится формула, которую мы назовем формулой Ньютона — Лейбница и которую будем использовать для вычисления определённого интеграла[2]:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \int\limits_{a}^{b} \displaystyle f(x)dx= F (b) - F (a) .}

Пример 1. Вычислить определённый интеграл: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int\limits_{1}^{3} x^2dx} .

Решение: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int\limits_{1}^{3} x^2dx = \frac{ 3^3}{3} - \frac{1^3}{3} = 9 - \frac{1}{3} = \frac{26}{3} .}

Ответ: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int\limits_{1}^{3} x^2dx = \frac{26}{3} .}

Если функция Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(x)} на отрезке Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle [a;b]} имеет конечное число точек разрыва первого рода Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c_1, c_2,...,c_n,} то интеграл Ньютона — Лейбница по этому отрезку определяют как сумму интегралов по частичным отрезкам Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle [a;c_1],[c_1;c_2],...,[c_n;b]} . Для этого на каждом из этих отрезков исходная функция доопределяется в концевых точках односторонними пределами[2].

Метод замены переменной[править]

Рассмотрим в общем виде метод замены переменных при решении определённого интеграла[3].

Если определённый интеграл Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \int\limits_{a}^{b} \displaystyle f(x)dx} преобразуется при помощи подстановки Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=\varphi(t)} в другой интеграл с новой переменной интегрирования Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t} , то старые пределы интегрирования Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_1=a} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_2=b} необходимо заменить новыми пределами Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_1=\alpha} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_2=\beta} , которые определяются из исходной подстановки Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a=\varphi(\alpha)} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b=\varphi(\beta)} [3].

Пусть функция Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(x)} непрерывна на отрезке Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle [a;b]} , функция Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varphi'(t)} непрерывна на отрезке Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle [\alpha;\beta]} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_1=a} , а Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_2=b} . Тогда имеет место следующее правило замены переменной в определённом интеграле:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\textstyle \textstyle \int\limits_{a}^{b} \displaystyle f(x)dx= \textstyle \int\limits_{\alpha}^{\beta} \displaystyle f[\varphi(t)]] *\varphi'(t)dt=\textstyle \int\limits_{\alpha}^{\beta} \displaystyle q(t)dt .}

К исходной переменной возвращаться не требуется, так как при решении такой задачи ответ выражается числом.

Пример[править]

  • Интеграл Эйлера — Пуассона — пример определённого интеграла с бесконечным верхним пределом, который не вычисляется очевидным образом через первообразную функцию:
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int\limits_0^{+\infty}e^{-x^2}dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}}

См. также[править]

Источники[править]

  1. ↑ Урок 5: Понятие определённого интеграла, формула Ньютона-Лейбница. Лицей Ростелеком. Проверено 21 декабря 2024.
  2. ↑ 2,0 2,1 2,2 Зубова И.К., Острая О.В., Анциферова Л.М., Рассоха Е.Н. Основы математического анализа (модуль «Определенный интеграл и несобственные интегралы»): учебное пособие / Оренбургский гос. ун-т. — Оренбург: ОГУ, 1017. — ISBN 978-5-7410-1851-4.
  3. ↑ 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 Родина Т.В., Трифанова Е.С. Курс лекций по математическому анализу – II (для напр. «Прикладная математика и информатика»). Учебное пособие. — СПб: НИУ ИТМО, 2013.
Знание.Вики

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Знание.Вики» («znanierussia.ru») под названием «Определённый интеграл», расположенная по следующим адресам:

—https://baza.znanierussia.ru/mediawiki/index.php/Определённый_интеграл
—«https://znanierussia.ru/articles/Определённый_интеграл»

Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий.

Всем участникам Знание.Вики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».

Источник — http://cyclowiki.org/w/index.php?title=Определённый_интеграл&oldid=2472232