Интеграл Эйлера — Пуассона

Полезные мелочи / гауссовы интегралы / 1 / интеграл Эйлера - Пуассона [4:40]

Интеграл Эйлера — Пуассона — определенный интеграл вида:

$\int \limits _{0}^{+\infty }e^{-x^{2}}dx={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}$

Вывод формулы

Следствие

$\int \limits _{0}^{+\infty }e^{-x^{2}}dx={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\Rightarrow \int \limits _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}$

Дополнение

Для фиксированного x имеем:

$\int \limits _{0}^{x}e^{-t^{2}}dt=\int \limits _{0}^{x}\left[\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}t^{2n}}{n!}}\right]dt=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{n!(2n+1)}}$

При x = 1 получаем:

Другие интегралы:

1. интеграл;
2. интегралы элементарных функций;
3. интегралы дробно-рациональных функций;
4. интегралы функций с корнями;
5. интегралы тригонометрических функций;
6. интегралы обратных тригонометрических функций;
7. интегралы гиперболических функций;
8. интегралы обратных гиперболических функций;
9. интеграл Фурье;
10. интеграл Фурье комплексный;
11. эллиптические интегралы;
12. интегралы, определяемые методом замены переменных;
13. интегралы, определяемые по интегральным равенствам;
14. интегралы, определяемые по интегральным формулам;
15. интеграл Эйлера-Пуассона.

Литература

• Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики — М.: «Наука», 1975.

Ссылки

• Участник:Logic-samara