Сумма n натуральных чисел

Сумма n натуральных чисел — это конечная сумма n первых натуральных чисел.

Обозначения

$n$ — число слагаемых;

$a_{i}$ — $i$ -ое слагаемое, $a_{i}=i$ ;

$S_{n}$ — сумма $n$ слагаемых, $S_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}$ ;

$S_{n_{1}n}$ — сумма $n$ слагаемых, $S_{n_{1}n}=a_{n_{1}}+a_{n_{1}+1}+\ldots +a_{n_{1}+n-1}=\sum \limits _{i=n_{1}}^{n_{1}+n-1}a_{i}$ .

Формула

$S_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}\Leftrightarrow 1+2+\ldots +n={\frac {n(n+1)}{2}}\Leftrightarrow \sum \limits _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}$ .

Доказательство

Метод математической индукции для суммы n натуральных чисел

Следствие

$S_{n_{1}n}=nn_{1}+{\frac {n(n-1)}{2}}\Leftrightarrow n_{1}+(n_{1}+1)+\ldots +(n_{1}+n-1)=nn_{1}+{\frac {n(n-1)}{2}}\Leftrightarrow \sum \limits _{i=n_{1}}^{n_{1}+n-1}i=nn_{1}+{\frac {n(n-1)}{2}}$ .

$S_{n_{1}n}=S_{n_{1}+n-1}-S_{n_{1}-1}\Leftrightarrow S_{n_{1}n}={\frac {(n_{1}+n)(n_{1}+n-1)-n_{1}(n_{1}-1)}{2}}$ .

Другие формулы:

1. сумма арифметической прогрессии;
2. сумма геометрической прогрессии;
3. сумма n натуральных чисел;
4. сумма квадратов n натуральных чисел;
5. сумма кубов n натуральных чисел;
6. сумма отношений числа и 2 в степени этого числа для n натуральных чисел;
7. сумма обратных произведений текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
8. сумма обратных произведений текущего и последующего нечётных чисел для n натуральных чисел;
9. сумма обратных сумм корней текущего и предыдущего чисел для n натуральных чисел;
10. сумма обратных сумм корней текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
11. сумма обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и предыдущего чисел для n натуральных чисел;
12. сумма обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
13. сумма обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и предыдущего чисел для n натуральных чисел;
14. сумма обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
15. сумма логарифмов отношений последующего и текущего чисел для n натуральных чисел;
16. сумма синусов кратных углов для n натуральных чисел;
17. сумма косинусов кратных углов для n натуральных чисел.

Другие понятия:

1. число;
2. формулы;
3. неравенства;
4. погрешность;
5. предел;
6. производная;
7. дифференциал;
8. последовательность;
9. суммы;
10. ряд;
11. признак сходимости;
12. интеграл;
13. преобразование;
14. экстремум;
15. вектор;
16. матрица;
17. функции;
18. уравнения;
19. дифференциальные уравнения;
20. теоремы.