Сумма обратных произведений текущего и последующего чисел для n натуральных чисел

Сумма обратных произведений текущего и последующего чисел для n натуральных чисел — это конечная сумма $n$ слагаемых, зависящих от последовательных натуральных чисел.

Обозначения

$n$ — число слагаемых;

$n_{1}$ — номер первого текущего числа, $n_{1}\geq 1$ ;

$a_{i}$ — $i$ -ое слагаемое, $a_{i}={\frac {1}{(n_{1}+i-1)(n_{1}+i)}}$ ;

$S_{n}$ — сумма $n$ слагаемых, $S_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}$ .

Формула

$S_{n}={\frac {n}{n_{1}(n_{1}+n)}}\Leftrightarrow {\frac {1}{n_{1}(n_{1}+1)}}+{\frac {1}{(n_{1}+1)(n_{1}+2)}}+\ldots +{\frac {1}{(n_{1}+n-1)(n_{1}+n)}}={\frac {n}{n_{1}(n_{1}+n)}}\Leftrightarrow \sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{(n_{1}+i-1)(n_{1}+i)}}={\frac {n}{n_{1}(n_{1}+n)}}$ .

Доказательство 1

Метод математической индукции для суммы обратных произведений текущего и последующего чисел

Доказательство 2

Доказательство суммы обратных произведений текущего и последующего чисел

Следствия

n₁=1

$S_{n}={\frac {n}{n+1}}\Leftrightarrow {\frac {1}{1{\text{·}}2}}+{\frac {1}{2{\text{·}}3}}+\ldots +{\frac {1}{n(n+1)}}={\frac {n}{n+1}}\Leftrightarrow \sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{i(i+1)}}={\frac {n}{n+1}}$.

n₁=2

$S_{n}={\frac {n}{2(n+2)}}\Leftrightarrow {\frac {1}{2{\text{·}}3}}+{\frac {1}{3{\text{·}}4}}+\ldots +{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}={\frac {n}{2(n+2)}}\Leftrightarrow \sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{(i+1)(i+2)}}={\frac {n}{2(n+2)}}$.

Другие формулы:

1. сумма арифметической прогрессии;
2. сумма геометрической прогрессии;
3. сумма n натуральных чисел;
4. сумма квадратов n натуральных чисел;
5. сумма кубов n натуральных чисел;
6. сумма отношений числа и 2 в степени этого числа для n натуральных чисел;
7. сумма обратных произведений текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
8. сумма обратных произведений текущего и последующего нечётных чисел для n натуральных чисел;
9. сумма обратных сумм корней текущего и предыдущего чисел для n натуральных чисел;
10. сумма обратных сумм корней текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
11. сумма обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и предыдущего чисел для n натуральных чисел;
12. сумма обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
13. сумма обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и предыдущего чисел для n натуральных чисел;
14. сумма обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
15. сумма логарифмов отношений последующего и текущего чисел для n натуральных чисел;
16. сумма синусов кратных углов для n натуральных чисел;
17. сумма косинусов кратных углов для n натуральных чисел.