Сумма обратных произведений текущего и последующего нечётных чисел для n натуральных чисел

Сумма обратных произведений текущего и последующего нечётных чисел для n натуральных чисел — это конечная сумма n слагаемых, зависящих от последовательных нечётных натуральных чисел.

Обозначения

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n} — число слагаемых;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n_1} — номер первого текущего нечётного числа, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n_1 \ge 1} ;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_i} — Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle i} -ое слагаемое, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_i = \frac{1}{(2n_1 + 2i - 3)(2n_1 + 2i - 1)}} ;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_n} — сумма Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n} слагаемых, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n = \sum \limits_{i=1}^n a_i} .

Формула

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_n = \frac{n}{(2n_1 - 1)(2n_1 + 2n - 1)} \Leftrightarrow \frac{1}{(2n_1 - 1)(2n_1 + 1)} + \frac{1}{(2n_1 + 1)(2n_1 + 3)} + \ldots + \frac{1}{(2n_1 + 2n - 3)(2n_1 + 2n - 1)} = \frac{n}{(2n_1 - 1)(2n_1 + 2n - 1)} \Leftrightarrow }

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow \sum \limits_{i=1}^n \frac{1}{(2n_1 + 2i - 3)(2n_1 + 2i - 1)} = \frac{n}{(2n_1 - 1)(2n_1 + 2n - 1)}} .

Доказательство 1

1. Проверяем формулу Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_k } при Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k = 1. \ S_1 = \frac{1}{(2n_1 +2 \text{·}1 - 3)(2n_1 + 2 \text{·}1 - 1)} = \frac{1}{(2n_1 - 1)(2n_1 + 1)} } и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_1 = \frac{1}{(2n_1 - 1)(2n_1 + 2 \text{·}1 - 1)} = \frac{1}{(2n_1 - 1)(2n_1 + 1)}} , очевидно, формула верна.

2. Доказательство индукцией вверх. Предполагаем, что формула Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_k } верна при Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k = n} , и доказываем формулу для Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k = n + 1} .

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_{n + 1} = S_n + a_{n + 1} = \frac{n}{(2n_1 - 1)(2n_1 + 2n - 1)} + \frac{1}{[2n_1 + 2(n + 1) - 3][2n_1 + 2(n + 1) - 1])} = \frac{n}{(2n_1 - 1)(2n_1 + 2n - 1)} + \frac{1}{(2n_1 + 2n - 1)(2n_1 + 2n + 1)} = }

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = \frac{n(2n_1 + 2n + 1) + (2n_1 - 1)}{(2n_1 - 1)(2n_1 + 2n - 1)(2n_1 + 2n + 1)} = \frac{n(2n_1 + 2n - 1) + (2n_1 + 2n - 1)}{(2n_1 - 1)(2n_1 + 2n - 1)(2n_1 + 2n + 1)} = \frac{(n + 1)(2n_1 + 2n - 1)}{(2n_1 - 1)(2n_1 +2n - 1)(2n_1 + 2n + 1)} = }

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = \frac{n + 1}{(2n_1 - 1)(2n_1 + 2n + 1)} \Leftrightarrow S_{n + 1} = \frac{n + 1}{(2n_1 - 1)(2n_1 + 2n + 1)} \Leftrightarrow S_{n + 1} = \frac{n + 1}{(2n_1 - 1)[2n_1 + 2(n +1) - 1]}} , то есть формула верна при Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k = n + 1} , ч.т.д.

Доказательство 2

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_n = \frac{1}{(2n_1 - 1)(2n_1 + 1)} + \frac{1}{(2n_1 + 1)(2n_1 + 3)} + \ldots + \frac{1}{(2n_1 + 2n - 3)(2n_1 + 2n - 1)} = }

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = \left( \frac{1/2}{2n_1 - 1} - \frac{1/2}{2n_1 + 1} \right) + \left( \frac{1/2}{2n_1 + 1} - \frac{1/2}{2n_1 + 3} \right) + \ldots + \left( \frac{1/2}{2n_1 + 2n - 3} - \frac{1/2}{2n_1 + 2n - 1} \right) = \frac{1/2}{2n_1 - 1} - \frac{1/2}{2n_1 + 2n - 1} = }

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = \frac{(2n_1 + 2n - 1)/2 - (2n_1 - 1)/2}{(2n_1 - 1)(2n_1 + 2n - 1)} = \frac{(n_1 + n - 1/2) - (n_1 - 1/2)}{(2n_1 - 1)(2n_1 + 2n - 1)} = \frac{n}{(2n_1 - 1)(2n_1 + 2n - 1)} \Leftrightarrow S_n = \frac{n}{(2n_1 - 1)(2n_1 + 2n - 1)}} , ч.т.д.

Следствия

n₁=1

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_n = \frac{n}{2n + 1} \Leftrightarrow \frac{1}{1 \text{·}3} + \frac{1}{3 \text{·}5} + \ldots + \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)} = \frac{n}{2n + 1} \Leftrightarrow \sum \limits_{i=1}^n \frac{1}{(2i - 1)(2i + 1)} = \frac{n}{2n + 1}} .

n₁=2

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_n = \frac{n}{3(2n + 3)} \Leftrightarrow \frac{1}{3 \text{·}5} + \frac{1}{5 \text{·}7} + \ldots + \frac{1}{(2n + 1)(2n + 3)} = \frac{n}{3(2n + 3)} \Leftrightarrow \sum \limits_{i=1}^n \frac{1}{(2i + 1)(2i + 3)} = \frac{n}{3(2n + 3)}} .

Другие формулы:

1. сумма арифметической прогрессии;
2. сумма геометрической прогрессии;
3. сумма n натуральных чисел;
4. сумма квадратов n натуральных чисел;
5. сумма кубов n натуральных чисел;
6. сумма отношений числа и 2 в степени этого числа для n натуральных чисел;
7. сумма обратных произведений текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
8. сумма обратных произведений текущего и последующего нечётных чисел для n натуральных чисел;
9. сумма обратных сумм корней текущего и предыдущего чисел для n натуральных чисел;
10. сумма обратных сумм корней текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
11. сумма обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и предыдущего чисел для n натуральных чисел;
12. сумма обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
13. сумма обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и предыдущего чисел для n натуральных чисел;
14. сумма обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
15. сумма логарифмов отношений последующего и текущего чисел для n натуральных чисел;
16. сумма синусов кратных углов для n натуральных чисел;
17. сумма косинусов кратных углов для n натуральных чисел.