Сумма квадратов n натуральных чисел

Сумма квадратов n натуральных чисел — это конечная сумма квадратов n первых натуральных чисел.

Обозначения

$n$ — число слагаемых;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_i} — Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle i} -ое слагаемое, $a_{i}=i^{2}$ ;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_n} — сумма $n$ слагаемых, $S_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}$ ;

$S_{n_{1}n}$ — сумма $n$ слагаемых, $S_{n_{1}n}=a_{n_{1}}+a_{n_{1}+1}+\ldots +a_{n_{1}+n-1}=\sum \limits _{i=n_{1}}^{n_{1}+n-1}a_{i}$ .

Формула

$S_{n}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}\Leftrightarrow 1^{2}+2^{2}+\ldots +n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}\Leftrightarrow \sum \limits _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$ .

Доказательство

Метод математической индукции для суммы квадратов n натуральных чисел

Следствие

$S_{n_{1}n}=S_{n_{1}+n-1}-S_{n_{1}-1}\Leftrightarrow S_{n_{1}n}={\frac {(n_{1}+n)(n_{1}+n-1)(2n_{1}+2n-1)-n_{1}(n_{1}-1)(2n_{1}-1)}{6}}$ .

Другие формулы:

1. сумма арифметической прогрессии;
2. сумма геометрической прогрессии;
3. сумма n натуральных чисел;
4. сумма квадратов n натуральных чисел;
5. сумма кубов n натуральных чисел;
6. сумма отношений числа и 2 в степени этого числа для n натуральных чисел;
7. сумма обратных произведений текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
8. сумма обратных произведений текущего и последующего нечётных чисел для n натуральных чисел;
9. сумма обратных сумм корней текущего и предыдущего чисел для n натуральных чисел;
10. сумма обратных сумм корней текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
11. сумма обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и предыдущего чисел для n натуральных чисел;
12. сумма обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
13. сумма обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и предыдущего чисел для n натуральных чисел;
14. сумма обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
15. сумма логарифмов отношений последующего и текущего чисел для n натуральных чисел;
16. сумма синусов кратных углов для n натуральных чисел;
17. сумма косинусов кратных углов для n натуральных чисел.