Сумма арифметической прогрессии

Сумма арифметической прогрессии — это конечная сумма n первых членов арифметической прогрессии.

Обозначения

$n$ — число слагаемых;

$a_{1}$ — первый член арифметической прогрессии;

$d$ — разность арифметической прогрессии, $d>0$ ;

$a_{i}$ — $i$ -ый член арифметической прогрессии, $a_{i}=a_{i-1}+d=a_{1}+(i-1)d,i>1$ ;

$S_{n}$ — сумма $n$ первых слагаемых, $S_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}$ .

Формула

$S_{n}=na_{1}+{\frac {n(n-1)d}{2}}\Leftrightarrow S_{n}={\frac {n[2a_{1}+(n-1)d]}{2}}$ .

Доказательство

Метод математической индукции для суммы арифметической прогрессии

Следствия

a₁=0

$S_{n}={\frac {n(n-1)d}{2}}\Leftrightarrow S_{n}={\frac {n(n-1)d}{2}}$ .

a₁=1

$S_{n}=n+{\frac {n(n-1)d}{2}}\Leftrightarrow S_{n}={\frac {n[2+(n-1)d]}{2}}$ .

Другие формулы:

1. сумма арифметической прогрессии;
2. сумма геометрической прогрессии;
3. сумма n натуральных чисел;
4. сумма квадратов n натуральных чисел;
5. сумма кубов n натуральных чисел;
6. сумма отношений числа и 2 в степени этого числа для n натуральных чисел;
7. сумма обратных произведений текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
8. сумма обратных произведений текущего и последующего нечётных чисел для n натуральных чисел;
9. сумма обратных сумм корней текущего и предыдущего чисел для n натуральных чисел;
10. сумма обратных сумм корней текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
11. сумма обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и предыдущего чисел для n натуральных чисел;
12. сумма обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
13. сумма обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и предыдущего чисел для n натуральных чисел;
14. сумма обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
15. сумма логарифмов отношений последующего и текущего чисел для n натуральных чисел;
16. сумма синусов кратных углов для n натуральных чисел;
17. сумма косинусов кратных углов для n натуральных чисел.