Сумма отношений числа и 2 в степени этого числа для n натуральных чисел

Сумма отношений числа и 2 в степени этого числа для n натуральных чисел — это конечная сумма отношений для n первых натуральных чисел.

Обозначения

$n$ — число слагаемых;

$a_{i}$ — $i$ -ое слагаемое, $a_{i}={\frac {i}{2^{i}}}$ ;

$S_{n}$ — сумма $n$ слагаемых, $S_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}$ ;

$S_{n_{1}n}$ — сумма $n$ слагаемых, $S_{n_{1}n}=a_{n_{1}}+a_{n_{1}+1}+\ldots +a_{n_{1}+n-1}=\sum \limits _{i=n_{1}}^{n_{1}+n-1}a_{i}$ .

Формула

$S_{n}=2-{\frac {n+2}{2^{n}}}\Leftrightarrow {\frac {1}{2^{1}}}+{\frac {2}{2^{2}}}+\ldots +{\frac {n}{2^{n}}}=2-{\frac {n+2}{2^{n}}}\Leftrightarrow \sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {i}{2^{i}}}=2-{\frac {n+2}{2^{n}}}$ .

Доказательство

Метод математической индукции для суммы отношений числа и 2 в степени этого числа для n натуральных чисел

Следствие

$S_{n_{1}n}=S_{n_{1}+n-1}-S_{n_{1}-1}\Leftrightarrow S_{n_{1}n}={\frac {n_{1}+1}{2^{n_{1}-1}}}-{\frac {n_{1}+n+1}{2^{n_{1}+n-1}}}$ .

Доказательство

$S_{n}=2-{\frac {n+2}{2^{n}}}\Rightarrow S_{n_{1}n}=S_{n_{1}+n-1}-S_{n_{1}-1}=2-{\frac {(n_{1}+n-1)+2}{2^{n_{1}+n-1}}}-\left[2-{\frac {(n_{1}-1)+2}{2^{n_{1}-1}}}\right]={\frac {n_{1}+1}{2^{n_{1}-1}}}-{\frac {n_{1}+n+1}{2^{n_{1}+n-1}}}\Rightarrow S_{n_{1}n}={\frac {n_{1}+1}{2^{n_{1}-1}}}-{\frac {n_{1}+n+1}{2^{n_{1}+n-1}}}$ .

Другие формулы:

1. сумма арифметической прогрессии;
2. сумма геометрической прогрессии;
3. сумма n натуральных чисел;
4. сумма квадратов n натуральных чисел;
5. сумма кубов n натуральных чисел;
6. сумма отношений числа и 2 в степени этого числа для n натуральных чисел;
7. сумма обратных произведений текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
8. сумма обратных произведений текущего и последующего нечётных чисел для n натуральных чисел;
9. сумма обратных сумм корней текущего и предыдущего чисел для n натуральных чисел;
10. сумма обратных сумм корней текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
11. сумма обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и предыдущего чисел для n натуральных чисел;
12. сумма обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
13. сумма обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и предыдущего чисел для n натуральных чисел;
14. сумма обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
15. сумма логарифмов отношений последующего и текущего чисел для n натуральных чисел;
16. сумма синусов кратных углов для n натуральных чисел;
17. сумма косинусов кратных углов для n натуральных чисел.