Сумма логарифмов отношений последующего и текущего чисел для n натуральных чисел

Сумма логарифмов отношений последующего и текущего чисел для n натуральных чисел — это конечная сумма n слагаемых, зависящих от последовательных натуральных чисел.

Обозначения

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n} — число слагаемых;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n_1} — номер первого текущего числа, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n_1 \ge 1} ;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_i} — Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle i} -ое слагаемое, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_i = \text{ln} \frac{n_1 + i}{n_1 + i - 1}} ;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_n} — сумма Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n} слагаемых, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n = \sum \limits_{i = 1}^n a_i} .

Формула

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_n = \text{ln} \frac{n_1 + n}{n_1} \Leftrightarrow \text{ln} \frac{n_1 + 1}{n_1} + \text{ln} \frac{n_1 + 2}{n_1 + 1} + \ldots + \text{ln} \frac{n_1 + n}{n_1 + n - 1} = \text{ln}\frac{n_1 + n}{n_1} \Leftrightarrow \sum \limits_{i = 1}^n \text{ln} \frac{n_1 + i}{n_1 + i - 1} = \text{ln} \frac{n_1 + n}{n_1}} .

Доказательство 1

1. Проверяем формулу Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_k } при Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k = 1. \ S_1 = \text{ln} \frac{n_1 + 1}{n_1 + 1 - 1} = \text{ln} \frac{n_1 + 1}{n_1}} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_1 = \text{ln} \frac{n_1 + 1}{n_1}} , очевидно, формула верна.

2. Доказательство индукцией вверх. Предполагаем, что формула Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_k } верна при Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k = n } , и доказываем формулу для Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k = n + 1} .

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_{n + 1} = S_n + a_{n + 1} = \text{ln} \frac{n_1 + n}{n_1} + \text{ln} \frac{n_1 + n + 1}{n_1 + (n + 1) - 1} = \text{ln} \frac{n_1 + n}{n_1} + \text{ln} \frac{n_1 + n + 1}{n_1 + n} = \text{ln} \left( \frac{n_1 + n}{n_1} \text{.} \frac{n_1 + n + 1}{n_1 + n} \right) = }

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = \text{ln} \frac{n_1 + n + 1}{n_1} \Leftrightarrow S_{n + 1} = \text{ln} \frac{n_1 + n + 1}{n_1}} , то есть формула верна при Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k = n + 1} , ч.т.д.

Доказательство 2

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_n = \text{ln} \frac{n_1 + 1}{n_1} + \text{ln} \frac{n_1 + 2}{n_1 + 1} + \ldots + \text{ln} \frac{n_1 + n}{n_1 + n - 1} = \left[ \text{ln}(n_1 + 1) - \text{ln}n_1 \right] + \left[ \text{ln}(n_1 + 2) - \text{ln}(n_1 + 1) \right] + \ldots + \left[ \text{ln}(n_1 + n) - \text{ln}(n_1 + n - 1) \right] = }

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = - \text{ln}n_1 + \text{ln}(n_1 + n) = \text{ln}\frac{n_1 + n}{n_1} \Leftrightarrow S_n = \text{ln} \frac{n_1 + n}{n_1}} , ч.т.д.

Следствия

n₁=1

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_n = \text{ln}(n + 1) \Leftrightarrow \text{ln} \frac{2}{1} + \text{ln} \frac{3}{2} + \ldots + \text{ln} \frac{n + 1}{n} = \text{ln}(n + 1) \Leftrightarrow \sum \limits_{i = 1}^n \text{ln} \frac{i + 1}{i} = \text{ln}(n + 1)} .

n₁=2

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_n = \text{ln}\frac{n + 2}{2} \Leftrightarrow \text{ln} \frac{3}{2} + \text{ln} \frac{4}{3} + \ldots + \text{ln} \frac{n + 2}{n + 1} = \text{ln} \frac{n + 2}{2} \Leftrightarrow \sum \limits_{i = 1}^n \text{ln} \frac{i + 2}{i + 1} = \text{ln} \frac{n + 2}{2}} .

Другие формулы:

1. сумма арифметической прогрессии;
2. сумма геометрической прогрессии;
3. сумма n натуральных чисел;
4. сумма квадратов n натуральных чисел;
5. сумма кубов n натуральных чисел;
6. сумма отношений числа и 2 в степени этого числа для n натуральных чисел;
7. сумма обратных произведений текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
8. сумма обратных произведений текущего и последующего нечётных чисел для n натуральных чисел;
9. сумма обратных сумм корней текущего и предыдущего чисел для n натуральных чисел;
10. сумма обратных сумм корней текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
11. сумма обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и предыдущего чисел для n натуральных чисел;
12. сумма обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
13. сумма обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и предыдущего чисел для n натуральных чисел;
14. сумма обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
15. сумма логарифмов отношений последующего и текущего чисел для n натуральных чисел;
16. сумма синусов кратных углов для n натуральных чисел;
17. сумма косинусов кратных углов для n натуральных чисел.