Сумма логарифмов отношений последующего и текущего чисел для n натуральных чисел

Сумма логарифмов отношений последующего и текущего чисел для n натуральных чисел — это конечная сумма n слагаемых, зависящих от последовательных натуральных чисел.

Обозначения

$n$ — число слагаемых;

$n_{1}$ — номер первого текущего числа, $n_{1}\geq 1$;

$a_{i}$ — $i$-ое слагаемое, $a_{i}={\text{ln}}{\frac {n_{1}+i}{n_{1}+i-1}}$;

$S_{n}$ — сумма $n$ слагаемых, $S_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}$.

Формула

$S_{n}={\text{ln}}{\frac {n_{1}+n}{n_{1}}}\Leftrightarrow {\text{ln}}{\frac {n_{1}+1}{n_{1}}}+{\text{ln}}{\frac {n_{1}+2}{n_{1}+1}}+\ldots +{\text{ln}}{\frac {n_{1}+n}{n_{1}+n-1}}={\text{ln}}{\frac {n_{1}+n}{n_{1}}}\Leftrightarrow \sum \limits _{i=1}^{n}{\text{ln}}{\frac {n_{1}+i}{n_{1}+i-1}}={\text{ln}}{\frac {n_{1}+n}{n_{1}}}$.

Доказательство 1

1. Проверяем формулу $S_{k}$ при $k=1.\ S_{1}={\text{ln}}{\frac {n_{1}+1}{n_{1}+1-1}}={\text{ln}}{\frac {n_{1}+1}{n_{1}}}$ и $S_{1}={\text{ln}}{\frac {n_{1}+1}{n_{1}}}$, очевидно, формула верна.

2. Доказательство индукцией вверх. Предполагаем, что формула $S_{k}$ верна при $k=n$, и доказываем формулу для $k=n+1$.

$S_{n+1}=S_{n}+a_{n+1}={\text{ln}}{\frac {n_{1}+n}{n_{1}}}+{\text{ln}}{\frac {n_{1}+n+1}{n_{1}+(n+1)-1}}={\text{ln}}{\frac {n_{1}+n}{n_{1}}}+{\text{ln}}{\frac {n_{1}+n+1}{n_{1}+n}}={\text{ln}}\left({\frac {n_{1}+n}{n_{1}}}{\text{.}}{\frac {n_{1}+n+1}{n_{1}+n}}\right)=$

$={\text{ln}}{\frac {n_{1}+n+1}{n_{1}}}\Leftrightarrow S_{n+1}={\text{ln}}{\frac {n_{1}+n+1}{n_{1}}}$, то есть формула верна при $k=n+1$, ч.т.д.

Доказательство 2

$S_{n}={\text{ln}}{\frac {n_{1}+1}{n_{1}}}+{\text{ln}}{\frac {n_{1}+2}{n_{1}+1}}+\ldots +{\text{ln}}{\frac {n_{1}+n}{n_{1}+n-1}}=\left[{\text{ln}}(n_{1}+1)-{\text{ln}}n_{1}\right]+\left[{\text{ln}}(n_{1}+2)-{\text{ln}}(n_{1}+1)\right]+\ldots +\left[{\text{ln}}(n_{1}+n)-{\text{ln}}(n_{1}+n-1)\right]=$

$=-{\text{ln}}n_{1}+{\text{ln}}(n_{1}+n)={\text{ln}}{\frac {n_{1}+n}{n_{1}}}\Leftrightarrow S_{n}={\text{ln}}{\frac {n_{1}+n}{n_{1}}}$, ч.т.д.

Следствия

n₁=1

$S_{n}={\text{ln}}(n+1)\Leftrightarrow {\text{ln}}{\frac {2}{1}}+{\text{ln}}{\frac {3}{2}}+\ldots +{\text{ln}}{\frac {n+1}{n}}={\text{ln}}(n+1)\Leftrightarrow \sum \limits _{i=1}^{n}{\text{ln}}{\frac {i+1}{i}}={\text{ln}}(n+1)$.

n₁=2

$S_{n}={\text{ln}}{\frac {n+2}{2}}\Leftrightarrow {\text{ln}}{\frac {3}{2}}+{\text{ln}}{\frac {4}{3}}+\ldots +{\text{ln}}{\frac {n+2}{n+1}}={\text{ln}}{\frac {n+2}{2}}\Leftrightarrow \sum \limits _{i=1}^{n}{\text{ln}}{\frac {i+2}{i+1}}={\text{ln}}{\frac {n+2}{2}}$.

Другие формулы:

1. сумма арифметической прогрессии;
2. сумма геометрической прогрессии;
3. сумма n натуральных чисел;
4. сумма квадратов n натуральных чисел;
5. сумма кубов n натуральных чисел;
6. сумма отношений числа и 2 в степени этого числа для n натуральных чисел;
7. сумма обратных произведений текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
8. сумма обратных произведений текущего и последующего нечётных чисел для n натуральных чисел;
9. сумма обратных сумм корней текущего и предыдущего чисел для n натуральных чисел;
10. сумма обратных сумм корней текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
11. сумма обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и предыдущего чисел для n натуральных чисел;
12. сумма обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
13. сумма обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и предыдущего чисел для n натуральных чисел;
14. сумма обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
15. сумма логарифмов отношений последующего и текущего чисел для n натуральных чисел;
16. сумма синусов кратных углов для n натуральных чисел;
17. сумма косинусов кратных углов для n натуральных чисел.