Сумма обратных сумм корней текущего и предыдущего чисел для n натуральных чисел

Сумма обратных сумм корней текущего и предыдущего чисел для n натуральных чисел — это конечная сумма n слагаемых, зависящих от последовательных натуральных чисел.

Обозначения

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n } — число слагаемых;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n_1 } — номер первого текущего числа, $n_{1}\geq 1$;

$a_{i}$ — $i$-ое слагаемое, $a_{i}={\frac {1}{{\sqrt {n_{1}+i-1}}+{\sqrt {n_{1}+i-2}}}}$;

$S_{n}$ — сумма $n$ слагаемых, $S_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}$.

Формула

$S_{n}={\sqrt {n_{1}+n-1}}-{\sqrt {n_{1}-1}}\Leftrightarrow {\frac {1}{{\sqrt {n_{1}}}+{\sqrt {n_{1}-1}}}}+{\frac {1}{{\sqrt {n_{1}+1}}+{\sqrt {n_{1}}}}}+\ldots +{\frac {1}{{\sqrt {n_{1}+n-1}}+{\sqrt {n_{1}+n-2}}}}={\sqrt {n_{1}+n-1}}-{\sqrt {n_{1}-1}}\Leftrightarrow$

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow \sum \limits_{i = 1} ^ n \frac{1}{ \sqrt{n_1 + i - 1} + \sqrt{ n_1 + i - 2}} = \sqrt{n_1 + n - 1} - \sqrt{n_1 - 1}} .

Доказательство 1

Метод математической индукции для суммы обратных сумм корней текущего и предыдущего чисел

Доказательство 2

Доказательство суммы обратных сумм корней текущего и предыдущего чисел

Следствия

n₁=1

$S_{n}={\sqrt {n}}\Leftrightarrow {\frac {1}{{\sqrt {1}}+{\sqrt {0}}}}+{\frac {1}{{\sqrt {2}}+{\sqrt {1}}}}+\ldots +{\frac {1}{{\sqrt {n}}+{\sqrt {n-1}}}}={\sqrt {n}}\Leftrightarrow \sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{{\sqrt {i}}+{\sqrt {i-1}}}}={\sqrt {n}}$.

n₁=2

$S_{n}={\sqrt {n+1}}-1\Leftrightarrow {\frac {1}{{\sqrt {2}}+{\sqrt {1}}}}+{\frac {1}{{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}}}+\ldots +{\frac {1}{{\sqrt {n+1}}+{\sqrt {n}}}}={\sqrt {n+1}}-1\Leftrightarrow \sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{{\sqrt {i+1}}+{\sqrt {i}}}}={\sqrt {n+1}}-1$.

Другие формулы:

1. сумма арифметической прогрессии;
2. сумма геометрической прогрессии;
3. сумма n натуральных чисел;
4. сумма квадратов n натуральных чисел;
5. сумма кубов n натуральных чисел;
6. сумма отношений числа и 2 в степени этого числа для n натуральных чисел;
7. сумма обратных произведений текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
8. сумма обратных произведений текущего и последующего нечётных чисел для n натуральных чисел;
9. сумма обратных сумм корней текущего и предыдущего чисел для n натуральных чисел;
10. сумма обратных сумм корней текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
11. сумма обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и предыдущего чисел для n натуральных чисел;
12. сумма обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
13. сумма обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и предыдущего чисел для n натуральных чисел;
14. сумма обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
15. сумма логарифмов отношений последующего и текущего чисел для n натуральных чисел;
16. сумма синусов кратных углов для n натуральных чисел;
17. сумма косинусов кратных углов для n натуральных чисел.