Сумма синусов кратных углов для n натуральных чисел

Сумма синусов кратных углов для n натуральных чисел — это конечная сумма синусов для n первых натуральных чисел.

Обозначения

$n$ — число слагаемых;

$a_{i}$ — $i$-ое слагаемое, $a_{i}={\text{sin}}(i{\text{α}})$;

$S_{n}$ — сумма $n$ слагаемых, $S_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}$;

Формула

$S_{n}={\frac {{\text{cos}}{\frac {\text{α}}{2}}-{\text{cos}}\left(n{\text{α}}+{\frac {\text{α}}{2}}\right)}{2{\text{sin}}{\frac {\text{α}}{2}}}}\Leftrightarrow {\text{sin}}({\text{α}})+{\text{sin}}(2{\text{α}})+\ldots +{\text{sin}}(n{\text{α}})={\frac {{\text{cos}}{\frac {\text{α}}{2}}-{\text{cos}}\left(n{\text{α}}+{\frac {\text{α}}{2}}\right)}{2{\text{sin}}{\frac {\text{α}}{2}}}}\Leftrightarrow \sum \limits _{i=1}^{n}{\text{sin}}(i{\text{α}})={\frac {{\text{cos}}{\frac {\text{α}}{2}}-{\text{cos}}\left(n{\text{α}}+{\frac {\text{α}}{2}}\right)}{2{\text{sin}}{\frac {\text{α}}{2}}}}$.

Доказательство

Доказательство 1

Доказательство суммы синусов кратных углов

Доказательство 2

Метод математической индукции для суммы синусов кратных углов

Другие формулы:

1. сумма арифметической прогрессии;
2. сумма геометрической прогрессии;
3. сумма n натуральных чисел;
4. сумма квадратов n натуральных чисел;
5. сумма кубов n натуральных чисел;
6. сумма отношений числа и 2 в степени этого числа для n натуральных чисел;
7. сумма обратных произведений текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
8. сумма обратных произведений текущего и последующего нечётных чисел для n натуральных чисел;
9. сумма обратных сумм корней текущего и предыдущего чисел для n натуральных чисел;
10. сумма обратных сумм корней текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
11. сумма обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и предыдущего чисел для n натуральных чисел;
12. сумма обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
13. сумма обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и предыдущего чисел для n натуральных чисел;
14. сумма обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
15. сумма логарифмов отношений последующего и текущего чисел для n натуральных чисел;
16. сумма синусов кратных углов для n натуральных чисел;
17. сумма косинусов кратных углов для n натуральных чисел.