Сумма обратных сумм корней текущего и последующего чисел для n натуральных чисел

Сумма обратных сумм корней текущего и последующего чисел для n натуральных чисел — это конечная сумма n слагаемых, зависящих от последовательных натуральных чисел.

Обозначения

$n$ — число слагаемых;

$n_{1}$ — номер первого текущего числа, $n_{1}\geq 1$;

$a_{i}$ — $i$-ое слагаемое, $a_{i}={\frac {1}{{\sqrt {n_{1}+i-1}}+{\sqrt {n_{1}+i}}}}$;

$S_{n}$ — сумма $n$ слагаемых, $S_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}$.

Формула

$S_{n}={\sqrt {n_{1}+n}}-{\sqrt {n_{1}}}\Leftrightarrow {\frac {1}{{\sqrt {n_{1}}}+{\sqrt {n_{1}+1}}}}+{\frac {1}{{\sqrt {n_{1}+1}}+{\sqrt {n_{1}+2}}}}+\ldots +{\frac {1}{{\sqrt {n_{1}+n-1}}+{\sqrt {n_{1}+n}}}}={\sqrt {n_{1}+n}}-{\sqrt {n_{1}}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{{\sqrt {n_{1}+i-1}}+{\sqrt {n_{1}+i}}}}={\sqrt {n_{1}+n}}-{\sqrt {n_{1}}}$.

Доказательство 1

Метод математической индукции для суммы обратных сумм корней текущего и последующего чисел

Доказательство 2

Доказательство суммы обратных сумм корней текущего и последующего чисел

Следствия

n₁=1

$S_{n}={\sqrt {n+1}}-1\Leftrightarrow {\frac {1}{{\sqrt {1}}+{\sqrt {2}}}}+{\frac {1}{{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}}+\ldots +{\frac {1}{{\sqrt {n}}+{\sqrt {n+1}}}}={\sqrt {n+1}}-1\Leftrightarrow \sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{{\sqrt {i}}+{\sqrt {i+1}}}}={\sqrt {n+1}}-1$.

n₁=2

$S_{n}={\sqrt {n+2}}-{\sqrt {2}}\Leftrightarrow {\frac {1}{{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}}+{\frac {1}{{\sqrt {3}}+{\sqrt {4}}}}+\ldots +{\frac {1}{{\sqrt {n+1}}+{\sqrt {n+2}}}}={\sqrt {n+2}}-{\sqrt {2}}\Leftrightarrow \sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{{\sqrt {i+1}}+{\sqrt {i+2}}}}={\sqrt {n+2}}-{\sqrt {2}}$.

Другие формулы:

1. сумма арифметической прогрессии;
2. сумма геометрической прогрессии;
3. сумма n натуральных чисел;
4. сумма квадратов n натуральных чисел;
5. сумма кубов n натуральных чисел;
6. сумма отношений числа и 2 в степени этого числа для n натуральных чисел;
7. сумма обратных произведений текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
8. сумма обратных произведений текущего и последующего нечётных чисел для n натуральных чисел;
9. сумма обратных сумм корней текущего и предыдущего чисел для n натуральных чисел;
10. сумма обратных сумм корней текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
11. сумма обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и предыдущего чисел для n натуральных чисел;
12. сумма обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
13. сумма обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и предыдущего чисел для n натуральных чисел;
14. сумма обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
15. сумма логарифмов отношений последующего и текущего чисел для n натуральных чисел;
16. сумма синусов кратных углов для n натуральных чисел;
17. сумма косинусов кратных углов для n натуральных чисел.