Сумма обратных сумм корней текущего и последующего чисел для n натуральных чисел

Сумма обратных сумм корней текущего и последующего чисел для n натуральных чисел — это конечная сумма n слагаемых, зависящих от последовательных натуральных чисел.

Обозначения

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n} — число слагаемых;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n_1} — номер первого текущего числа, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n_1 \ge 1} ;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_i} — Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle i} -ое слагаемое, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_i = \frac{1}{ \sqrt{n_1 + i - 1} + \sqrt{n_1 + i}}} ;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_n} — сумма Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n} слагаемых, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n = \sum \limits_{i = 1} ^ n a_i} .

Формула

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_n = \sqrt{n_1 + n} - \sqrt{n_1} \Leftrightarrow \frac{1}{ \sqrt{n_1} + \sqrt{n_1 + 1}} + \frac{1}{ \sqrt{n_1 + 1} + \sqrt{n_1 + 2}} + \ldots + \frac{1}{ \sqrt{n_1 + n - 1} + \sqrt{n_1 + n}} = \sqrt{n_1 + n} - \sqrt{n_1} \Leftrightarrow }

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow \sum \limits_{i = 1}^n \frac{1}{ \sqrt{n_1 + i - 1} + \sqrt{ n_1 + i}} = \sqrt{n_1 + n} - \sqrt{n_1}} .

Доказательство 1

Метод математической индукции для суммы обратных сумм корней текущего и последующего чисел

Доказательство 2

Доказательство суммы обратных сумм корней текущего и последующего чисел

Следствия

n₁=1

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_n = \sqrt{n + 1} - 1 \Leftrightarrow \frac{1}{ \sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{ \sqrt{2} + \sqrt{3}} + \ldots + \frac{1}{ \sqrt{n} + \sqrt{n + 1}} = \sqrt{n + 1} - 1 \Leftrightarrow \sum \limits_{i=1}^n \frac{1}{ \sqrt{i} + \sqrt{i + 1}} = \sqrt{n + 1} - 1} .

n₁=2

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_n = \sqrt{n + 2} - \sqrt{2} \Leftrightarrow \frac{1}{ \sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{ \sqrt{3} + \sqrt{4}} + \ldots + \frac{1}{ \sqrt{n + 1} + \sqrt{n + 2}} = \sqrt{n + 2} - \sqrt{2} \Leftrightarrow \sum \limits_{i=1}^n \frac{1}{ \sqrt{i + 1} + \sqrt{ i + 2}} = \sqrt{n + 2} - \sqrt{2}} .

Другие формулы:

1. сумма арифметической прогрессии;
2. сумма геометрической прогрессии;
3. сумма n натуральных чисел;
4. сумма квадратов n натуральных чисел;
5. сумма кубов n натуральных чисел;
6. сумма отношений числа и 2 в степени этого числа для n натуральных чисел;
7. сумма обратных произведений текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
8. сумма обратных произведений текущего и последующего нечётных чисел для n натуральных чисел;
9. сумма обратных сумм корней текущего и предыдущего чисел для n натуральных чисел;
10. сумма обратных сумм корней текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
11. сумма обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и предыдущего чисел для n натуральных чисел;
12. сумма обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
13. сумма обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и предыдущего чисел для n натуральных чисел;
14. сумма обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
15. сумма логарифмов отношений последующего и текущего чисел для n натуральных чисел;
16. сумма синусов кратных углов для n натуральных чисел;
17. сумма косинусов кратных углов для n натуральных чисел.