Сумма геометрической прогрессии

Сумма геометрической прогрессии — это конечная сумма n первых членов геометрической прогрессии.

Обозначения

$n$ — число слагаемых;

$b_{1}$ — первый член геометрической прогрессии;

$q$ — знаменатель геометрической прогрессии, $q\neq 1$ ;

$b_{i}$ — $i$ -ый член геометрической прогрессии, $b_{i}=b_{i-1}q=b_{1}q^{i-1},i>1$ ;

$S_{n}$ — сумма $n$ первых слагаемых, $S_{n}=b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}b_{i}$ .

Формула

$S_{n}=b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}\Leftrightarrow b_{1}+b_{1}q^{1}+\ldots +b_{1}q^{n-1}=b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}\Leftrightarrow \sum \limits _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}\Leftrightarrow S_{n}=b_{1}{\frac {q^{n}-1}{q-1}}$ .

Доказательство

Метод математической индукции для суммы геометрической прогрессии

Следствия

b₁=1

$S_{n}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}\Leftrightarrow 1+q^{1}+\ldots +q^{n-1}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}\Leftrightarrow \sum \limits _{i=1}^{n}q^{i-1}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}\Leftrightarrow S_{n}={\frac {q^{n}-1}{q-1}}$ .

b₁=q

$S_{n}=q{\frac {1-q^{n}}{1-q}}\Leftrightarrow q+q^{2}+\ldots +q^{n}=q{\frac {1-q^{n}}{1-q}}\Leftrightarrow \sum \limits _{i=1}^{n}q^{i}=q{\frac {1-q^{n}}{1-q}}\Leftrightarrow S_{n}=q{\frac {q^{n}-1}{q-1}}$ .

Другие формулы:

1. сумма арифметической прогрессии;
2. сумма геометрической прогрессии;
3. сумма n натуральных чисел;
4. сумма квадратов n натуральных чисел;
5. сумма кубов n натуральных чисел;
6. сумма отношений числа и 2 в степени этого числа для n натуральных чисел;
7. сумма обратных произведений текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
8. сумма обратных произведений текущего и последующего нечётных чисел для n натуральных чисел;
9. сумма обратных сумм корней текущего и предыдущего чисел для n натуральных чисел;
10. сумма обратных сумм корней текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
11. сумма обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и предыдущего чисел для n натуральных чисел;
12. сумма обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
13. сумма обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и предыдущего чисел для n натуральных чисел;
14. сумма обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и последующего чисел для n натуральных чисел;
15. сумма логарифмов отношений последующего и текущего чисел для n натуральных чисел;
16. сумма синусов кратных углов для n натуральных чисел;
17. сумма косинусов кратных углов для n натуральных чисел.