Метод математической индукции для суммы арифметической прогрессии

Доказательство методом математической индукции суммы арифметической прогрессии использует индукцию вверх от n к n+1.

Обозначения

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n} — число слагаемых;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_1} — первый член арифметической прогрессии;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d} — разность арифметической прогрессии, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d>0}  ;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_i} — Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle i} -ый член арифметической прогрессии, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_i=a_{i-1}+d=a_1+(i-1)d,i>1}  ;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_n} — сумма Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n} первых слагаемых, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n=\sum\limits_{i=1}^n a_i} .

Формула

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_n=na_1+\frac{n(n-1)d}{2}\Leftrightarrow S_n=\frac{n[2a_1+(n-1)d]}{2}} .

Доказательство

1. Проверяем формулу Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_k} при Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k=1.\ S_1=a_1} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_1=1\text{·}a_1+\frac{1\text{·}(1-1)d}{2}=a_1} , очевидно, формула верна.

2. Доказательство индукцией вверх. Предполагаем, что формула Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_k} верна при Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k = n} , и доказываем формулу для Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k=n+1} .

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_{n+1}=S_n+a_{n+1}=n a_1+\frac{n(n-1)d}{2}+a_{n+1}=n a_1+\frac{n(n-1)d}{2}+a_1+[(n+1)-1]d=(n a_1+a_1)+\frac{n(n-1)d+2n d}{2}=(n+1)a_1+\frac{[(n-1)+2]n d}{2}=} .

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle =(n+1)a_1+\frac{(n+1)n d}{2}\Leftrightarrow S_{n+1}=(n+1)a_1+\frac{(n+1)n d}{2}\Leftrightarrow S_{n+1}=(n+1)a_1+\frac{(n+1)[(n+1)-1]d}{2}} , то есть формула верна при Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k=n+1} , ч.т.д.

Другие доказательства:

1. Доказательство суммы обратных произведений текущего и последующего чисел;
2. Доказательство суммы обратных произведений текущего и последующего нечётных чисел;
3. Доказательство суммы обратных сумм корней текущего и предыдущего чисел;
4. Доказательство суммы обратных сумм корней текущего и последующего чисел;
5. Доказательство суммы обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и предыдущего чисел;
6. Доказательство суммы обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и последующего чисел;
7. Доказательство суммы обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и предыдущего чисел;
8. Доказательство суммы обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и последующего чисел;
9. Доказательство суммы логарифмов отношений последующего и текущего чисел;
10. Доказательство суммы синусов кратных углов;
11. Доказательство суммы косинусов кратных углов;
12. ММИ для суммы арифметической прогрессии;
13. ММИ для суммы геометрической прогрессии;
14. ММИ для суммы n натуральных чисел;
15. ММИ для суммы квадратов n натуральных чисел;
16. ММИ для суммы кубов n натуральных чисел;
17. ММИ для суммы обратных произведений текущего и последующего чисел;
18. ММИ для суммы обратных произведений текущего и последующего нечётных чисел;
19. ММИ для суммы обратных сумм корней текущего и предыдущего чисел;
20. ММИ для суммы обратных сумм корней текущего и последующего чисел;
21. ММИ для суммы обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и предыдущего чисел;
22. ММИ для суммы обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и последующего чисел;
23. ММИ для суммы обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и предыдущего чисел;
24. ММИ для суммы обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и последующего чисел;
25. ММИ для суммы отношений числа и 2 в степени этого числа для n натуральных чисел;
26. ММИ для суммы логарифмов отношений последующего и текущего чисел;
27. ММИ для суммы синусов кратных углов;
28. ММИ для суммы косинусов кратных углов.