Метод математической индукции для суммы арифметической прогрессии

Доказательство методом математической индукции суммы арифметической прогрессии использует индукцию вверх от n к n+1.

Обозначения

$n$ — число слагаемых;

$a_{1}$ — первый член арифметической прогрессии;

$d$ — разность арифметической прогрессии, $d>0$ ;

$a_{i}$ — $i$ -ый член арифметической прогрессии, $a_{i}=a_{i-1}+d=a_{1}+(i-1)d,i>1$ ;

$S_{n}$ — сумма $n$ первых слагаемых, $S_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}$ .

Формула

$S_{n}=na_{1}+{\frac {n(n-1)d}{2}}\Leftrightarrow S_{n}={\frac {n[2a_{1}+(n-1)d]}{2}}$ .

Доказательство

1. Проверяем формулу $S_{k}$ при $k=1.\ S_{1}=a_{1}$ и $S_{1}=1{\text{·}}a_{1}+{\frac {1{\text{·}}(1-1)d}{2}}=a_{1}$ , очевидно, формула верна.

2. Доказательство индукцией вверх. Предполагаем, что формула $S_{k}$ верна при $k=n$ , и доказываем формулу для $k=n+1$ .

$S_{n+1}=S_{n}+a_{n+1}=na_{1}+{\frac {n(n-1)d}{2}}+a_{n+1}=na_{1}+{\frac {n(n-1)d}{2}}+a_{1}+[(n+1)-1]d=(na_{1}+a_{1})+{\frac {n(n-1)d+2nd}{2}}=(n+1)a_{1}+{\frac {[(n-1)+2]nd}{2}}=$ .

$=(n+1)a_{1}+{\frac {(n+1)nd}{2}}\Leftrightarrow S_{n+1}=(n+1)a_{1}+{\frac {(n+1)nd}{2}}\Leftrightarrow S_{n+1}=(n+1)a_{1}+{\frac {(n+1)[(n+1)-1]d}{2}}$, то есть формула верна при $k=n+1$ , ч.т.д.

Другие доказательства:

1. Доказательство суммы обратных произведений текущего и последующего чисел;
2. Доказательство суммы обратных произведений текущего и последующего нечётных чисел;
3. Доказательство суммы обратных сумм корней текущего и предыдущего чисел;
4. Доказательство суммы обратных сумм корней текущего и последующего чисел;
5. Доказательство суммы обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и предыдущего чисел;
6. Доказательство суммы обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и последующего чисел;
7. Доказательство суммы обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и предыдущего чисел;
8. Доказательство суммы обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и последующего чисел;
9. Доказательство суммы логарифмов отношений последующего и текущего чисел;
10. Доказательство суммы синусов кратных углов;
11. Доказательство суммы косинусов кратных углов;
12. ММИ для суммы арифметической прогрессии;
13. ММИ для суммы геометрической прогрессии;
14. ММИ для суммы n натуральных чисел;
15. ММИ для суммы квадратов n натуральных чисел;
16. ММИ для суммы кубов n натуральных чисел;
17. ММИ для суммы обратных произведений текущего и последующего чисел;
18. ММИ для суммы обратных произведений текущего и последующего нечётных чисел;
19. ММИ для суммы обратных сумм корней текущего и предыдущего чисел;
20. ММИ для суммы обратных сумм корней текущего и последующего чисел;
21. ММИ для суммы обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и предыдущего чисел;
22. ММИ для суммы обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и последующего чисел;
23. ММИ для суммы обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и предыдущего чисел;
24. ММИ для суммы обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и последующего чисел;
25. ММИ для суммы отношений числа и 2 в степени этого числа для n натуральных чисел;
26. ММИ для суммы логарифмов отношений последующего и текущего чисел;
27. ММИ для суммы синусов кратных углов;
28. ММИ для суммы косинусов кратных углов.