Метод математической индукции для суммы квадратов n натуральных чисел

Доказательство методом математической индукции суммы квадратов n натуральных чисел использует индукцию вверх от n к n+1.

Обозначения

$n$ — число слагаемых;

$a_{i}$ — $i$-ое слагаемое, $a_{i}=i^{2}$ ;

$S_{n}$ — сумма $n$ слагаемых, $S_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}$ .

Формула

$S_{n}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}\Leftrightarrow 1^{2}+2^{2}+\ldots +n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}\Leftrightarrow \sum \limits _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$ .

Доказательство

1. Проверяем формулу $S_{k}$ при $k=1.\ S_{1}=1^{2}=1$ и $S_{1}={\frac {1{\text{·}}(1+1)(2{\text{·}}1+1)}{6}}=1$ , очевидно, формула верна.

2. Доказательство индукцией вверх. Предполагаем, что формула $S_{k}$ верна при $k=n$ , и доказываем формулу для $k=n+1$

$S_{n+1}=S_{n}+(n+1)^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}+(n+1)^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^{2}}{6}}={\frac {(n+1)[(2n^{2}+n)+(6n+6)]}{6}}=$

$={\frac {(n+1)[(2n^{2}+4n)+(3n+6)]}{6}}={\frac {(n+1)[2n(n+2)+3(n+2)]}{6}}={\frac {(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}}\Leftrightarrow S_{n+1}={\frac {(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{n+1}={\frac {(n+1)[(n+1)+1][2(n+1)+1]}{6}}$ , то есть формула верна при $k=n+1$ , ч.т.д.

Другие доказательства:

1. Доказательство суммы обратных произведений текущего и последующего чисел;
2. Доказательство суммы обратных произведений текущего и последующего нечётных чисел;
3. Доказательство суммы обратных сумм корней текущего и предыдущего чисел;
4. Доказательство суммы обратных сумм корней текущего и последующего чисел;
5. Доказательство суммы обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и предыдущего чисел;
6. Доказательство суммы обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и последующего чисел;
7. Доказательство суммы обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и предыдущего чисел;
8. Доказательство суммы обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и последующего чисел;
9. Доказательство суммы логарифмов отношений последующего и текущего чисел;
10. Доказательство суммы синусов кратных углов;
11. Доказательство суммы косинусов кратных углов;
12. ММИ для суммы арифметической прогрессии;
13. ММИ для суммы геометрической прогрессии;
14. ММИ для суммы n натуральных чисел;
15. ММИ для суммы квадратов n натуральных чисел;
16. ММИ для суммы кубов n натуральных чисел;
17. ММИ для суммы обратных произведений текущего и последующего чисел;
18. ММИ для суммы обратных произведений текущего и последующего нечётных чисел;
19. ММИ для суммы обратных сумм корней текущего и предыдущего чисел;
20. ММИ для суммы обратных сумм корней текущего и последующего чисел;
21. ММИ для суммы обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и предыдущего чисел;
22. ММИ для суммы обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и последующего чисел;
23. ММИ для суммы обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и предыдущего чисел;
24. ММИ для суммы обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и последующего чисел;
25. ММИ для суммы отношений числа и 2 в степени этого числа для n натуральных чисел;
26. ММИ для суммы логарифмов отношений последующего и текущего чисел;
27. ММИ для суммы синусов кратных углов;
28. ММИ для суммы косинусов кратных углов.