Метод математической индукции для суммы кубов n натуральных чисел

Доказательство методом математической индукции суммы кубов n натуральных чисел использует индукцию вверх от n к n+1.

Обозначения

$n$ — число слагаемых;

$a_{i}$ — $i$ -ое слагаемое, $a_{i}=i^{3}$ ;

$S_{n}$ — сумма $n$ слагаемых, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n=\sum\limits_{i=1}^n a_i} .

Формула

$S_{n}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}\Leftrightarrow 1^{3}+2^{3}+\ldots +n^{3}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}\Leftrightarrow \sum \limits _{i=1}^{n}i^{3}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}$ .

Доказательство

1. Проверяем формулу $S_{k}$ при $k=1.\ S_{1}=1^{3}=1$ и $S_{1}={\frac {1^{2}{\text{·}}(1+1)^{2}}{4}}=1$ , очевидно, формула верна.

2. Доказательство индукцией вверх. Предполагаем, что формула $S_{k}$ верна при $k=n$ , и доказываем формулу для $k=n+1$ .

$S_{n+1}=S_{n}+(n+1)^{3}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}+(n+1)^{3}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}+4(n+1)^{3}}{4}}={\frac {(n+1)^{2}[n^{2}+(4n+4)]}{4}}={\frac {(n+1)^{2}(n^{2}+4n+4)}{4}}=$

$={\frac {(n+1)^{2}(n+2)^{2}}{4}}\Leftrightarrow S_{n+1}={\frac {(n+1)^{2}(n+2)^{2}}{4}}\Leftrightarrow S_{n+1}={\frac {(n+1)^{2}[(n+1)+1]^{2}}{4}}$ , то есть формула верна при $k=n+1$ , ч.т.д.

Другие доказательства:

1. Доказательство суммы обратных произведений текущего и последующего чисел;
2. Доказательство суммы обратных произведений текущего и последующего нечётных чисел;
3. Доказательство суммы обратных сумм корней текущего и предыдущего чисел;
4. Доказательство суммы обратных сумм корней текущего и последующего чисел;
5. Доказательство суммы обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и предыдущего чисел;
6. Доказательство суммы обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и последующего чисел;
7. Доказательство суммы обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и предыдущего чисел;
8. Доказательство суммы обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и последующего чисел;
9. Доказательство суммы логарифмов отношений последующего и текущего чисел;
10. Доказательство суммы синусов кратных углов;
11. Доказательство суммы косинусов кратных углов;
12. ММИ для суммы арифметической прогрессии;
13. ММИ для суммы геометрической прогрессии;
14. ММИ для суммы n натуральных чисел;
15. ММИ для суммы квадратов n натуральных чисел;
16. ММИ для суммы кубов n натуральных чисел;
17. ММИ для суммы обратных произведений текущего и последующего чисел;
18. ММИ для суммы обратных произведений текущего и последующего нечётных чисел;
19. ММИ для суммы обратных сумм корней текущего и предыдущего чисел;
20. ММИ для суммы обратных сумм корней текущего и последующего чисел;
21. ММИ для суммы обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и предыдущего чисел;
22. ММИ для суммы обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и последующего чисел;
23. ММИ для суммы обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и предыдущего чисел;
24. ММИ для суммы обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и последующего чисел;
25. ММИ для суммы отношений числа и 2 в степени этого числа для n натуральных чисел;
26. ММИ для суммы логарифмов отношений последующего и текущего чисел;
27. ММИ для суммы синусов кратных углов;
28. ММИ для суммы косинусов кратных углов.